Question

如图：在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，点M、N分别为BC、PA的中点，且PA=AB=2．
（Ⅰ）证明：BC⊥平面AMN；
（Ⅱ）求三棱锥N-AMC的体积．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）根据四边形ABCD为含有60°角的菱形，证出△ABC为正三角形，从而得到BC⊥AM．由PA⊥平面ABCD，证出PA⊥BC，结合线面垂直的判定定理，证出BC⊥面AMN．
（Ⅱ）由NA⊥平面AMC，NA=1，S_△AMC=

1

2

S△ABC=

1

2

×(

1

2

×2×2×sin60°)=

3

2

，能求出三棱锥N-AMC的体积．

解答： （Ⅰ）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC
又∵∠ABC=60°，∴△ABC为正三角形，得AB=BC=CA
∵M是BC的中点，∴BC⊥AM
∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC
∵PA、AM是平面AMN内的相交直线，
∴BC⊥面AMN．
（Ⅱ）解：∵∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，
点M、N分别为BC、PA的中点，且PA=AB=2，
∴NA⊥平面AMC，NA=1，
S_△AMC=

1

2

S△ABC=

1

2

×(

1

2

×2×2×sin60°)=

3

2

，
∴三棱锥N-AMC的体积：
V=

1

3

×S△AMC×NA=

1

3

×

3

2

×1=

3

6

．

点评：本题在四棱锥中证明线面垂直，并探索线面平行的存在性问题．着重考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质和空间线面平行与线面垂直的判定等知识，属于中档题．