Question

已知函数f（x）=ax²+xlnx（a∈R）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线x+3y=0垂直．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）求证：当n＞m＞0时，lnn-lnm＞

m

n

-

n

m

；
（Ⅲ）若存在k∈Z，使得f（x）＞k恒成立，求实数k的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由图象在点（1，f（1））处的切线与直线x+3y=0垂直．即函数f（x）的导函数在x=1处的函数值为3，求出a的值；
（Ⅱ）利用已知函数的单调性，变形构造恒等式，从而证明不等式；
（Ⅲ）利用已知函数的单调性，构造g（x）=2x+lnx+1，由g（x）的单调性得出f（x）的单调性，再由f（x）≥f（x）_极小值，解决恒等式，从而求出k的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=ax²+xlnx，∴f′（x）=2ax+lnx+1，
∵切线与直线x+3y=0垂直，∴切线的斜率为3，
∴f′（1）=3，即2a+1=3，故a=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x²+xlnx，a∈（0，+∞），f′（x）=2x+lnx+1，x∈（0，+∞），
∵f′（x）在（0，+∞）上单调递增，∴当x＞1时，有f′（x）＞f′（1）=3＞0，
∴函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，
∵n＞m＞0，∴

n

m

＞1，∴f（

n

m

）＞f（1）=1
即(

n

m

)2+

n

m

ln

n

m

＞1，

n

m

ln

n

m

＞1-(

n

m

)2
∴lnn-lnm＞

m

n

-

n

m

；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（x）=x²+xlnx，a∈（0，+∞），f′（x）=2x+lnx+1，x∈（0，+∞），
令g（x）=2x+lnx+1，x∈（0，+∞），则g′(x)=2+

1

x

，x∈（0，+∞），
由g′（x）＞0对x∈（0，+∞），恒成立，故g（x）在（0，+∞）上单调递增，
又∵g(

1

e

)=

2

e2

-2+1=

2

e2

-1＜0，而g(

1

2

)=2-ln2＞0，
∴存在x₀∈(0，

1

2

)，使g（x₀）=0
∵g（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴当x∈（0，x₀）时，g（x）=f′（x）＜0，f（x）在（0，x₀）上单调递减；
当x∈（x₀，+∞）时，g（x）=f′（x）＞0，f（x）在（x₀，+∞）上单调递增；
∴f（x）在x=x₀处取得最小值f（x₀）
∵f（x）＞k恒成立，所以k＜f（x₀）
由g（x₀）=0得，2x₀+lnx₀+1=0，所以lnx₀=-1-2x₀，
∴f（x₀）=x02+x0lnx0=x02+x0(-1-2x0)=-x02-x0=-(x0+

1

2

)2+

1

4

，
又x0∈(0，

1

2

)，∴f（x₀）∈(-

3

4

，0)，
∵k∈Z，∴k的最大值为-1．

点评：本小题主要考查函数、导数、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想等，是一道综合性较强的导数应用题．属于难题．