Question

已知直线l：

x=tcosα+m y=tsinα

（t为参数）经过椭圆C：

x=5cosφ y=3sinφ

（φ为参数）的右焦点F．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|•|FB|的最大值与最小值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：选作题,坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）椭圆的参数方程化为普通方程，可得F的坐标，直线l经过点（m，0），可求m的值；
（Ⅱ）将直线l的参数方程代入椭圆C的普通方程，利用参数的几何意义，即可求|FA|•|FB|的最大值与最小值．

解答： 解：（Ⅰ）椭圆的参数方程化为普通方程，得

x2

25

+

y2

9

=1，
∴a=5，b=3，c=4，则点F的坐标为（4，0）．
∵直线l经过点（m，0），∴m=4．…（4分）
（Ⅱ）将直线l的参数方程代入椭圆C的普通方程，并整理得：（9cos²α+25sin²α）t²+72tcosα-81=0．
设点A，B在直线参数方程中对应的参数分别为t₁，t₂，则
|FA|•|FB|=|t₁t₂|=

81

9cos2α+25sin2α

=

81

9+16sin2α

．…（8分）
当sinα=0时，|FA|•|FB|取最大值9；
当sinα=±1时，|FA|•|FB|取最小值

81

25

．…（10分）

点评：本题考查参数方程化成普通方程，考查学生的计算能力，正确运用参数的几何意义是关键．