Question

已知向量

a

=（2cosx，

3

sinx），

b

=（cosx，2cosx），f（x）=

a

•

b

+1．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈[0，

π

4

]时，求函数y=f（x）的值域．

Answer 1

考点：平面向量的综合题,平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：综合题,平面向量及应用

分析：由题意，先化简f（x）=

a

•

b

+1，得到f（x）=2sin（2x+

π

6

）+2 
（Ⅰ）由复合三角函数单调区间的求法，令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，解之即可得出函数的增区间；
（Ⅱ）由于x∈[0，

π

4

]，先求出

π

6

≤2x+

π

6

≤

2π

3

，再求出sin（2x+

π

6

）的取值范围，即可得出函数的值域．

解答： 解：由题意，f（x）=

a

•

b

+1=2cos²x+2

3

sinxcosx+1=cos2x+

3

sin2x+2=2sin（2x+

π

6

）+2   …（2分）
（Ⅰ）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈z，
所以f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z  …（5分）
（Ⅱ）∵x∈[0，

π

4

]，∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

2π

3

∴

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，．…（8分）
∴3≤2sin（2x+

π

6

）+2≤4，
∴函数y=f（x）的值域[3，4]…（10分）．

点评：本题考查向量与三角的综合，是近几年高考题中常见的类型，难度不大，认真计算，即可保证正确．