Question

设椭圆M：

x2

a2

+

y2

2

=1（a＞2）的右焦点为F₁，直线l：x=

a2

a2-2

与x轴交于点A，若

OF1

=2

F1A

（其中O为坐标原点）．
（1）求椭圆M的方程；
（2）设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N：x²+（y-2）²=1的任意一条直径（E、F为直径的两个端点），求

PE

•

PF

的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题设知

a2-2

=2（

a2

a2-2

-

a2-2

），由此能求出椭圆方程．
（2）由x²+（y-2）²=1，得圆心N（0，2），由已知条件得

PE

•

PF

=

NP

2-1，从而求

PE

•

PF

的最大值转化为求

NP

2的最大值，由此能求出

PE

•

PF

的最大值为11．

解答： 解：（1）由题设知A（

a2

a2-2

，0），F₁（

a2-2

，0），
由

OF1

=2

F1A

，得

a2-2

=2（

a2

a2-2

-

a2-2

），
解得a²=6，
∴椭圆方程为M：

x2

6

+

y2

2

=1．
（2）由x²+（y-2）²=1，得圆心N（0，2），
则

PE

•

PF

=(

NE

-

NP

)•(

NF

-

NP

)=(-

NF

-

NP

)•(

NF

-

NP

)=

NP

2-

NF

2=

NP

2-1，
从而求

PE

•

PF

的最大值转化为求

NP

2的最大值，…（7分）
∵P是椭圆M上的任意一点，设P（x₀，y₀），
∴

x02

6

+

y02

2

=1，即

x

2 0

=6-3

y

2 0

，
∵点N（0，2），
∴

NP

2=

x

2 0

+(y0-2)2=-2(y0+1)2+12，…（10分）
∵y0∈[-

2

，

2

]，
∴当y₀=-1时，

NP

2取得最大值12，
∴

PE

•

PF

的最大值为11．…（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查向量的数量积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．