Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=CD，AB=4，BC=3，E是PD的中点．
（1）证明：PB∥平面ACE
（2）若Q为直线PB上任意一点，求几何体Q-ACE的体积．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连接BD交AC于O，由已知条件得OE∥PB．由此能证明PB∥面ACE．
（2）由V_Q-ACE=V_B-ACE=V_E-ABC，利用等积法能求出几何体Q-ACE的体积．

解答： （1）证明：连接BD交AC于O，
∵底面ABCD是矩形，∴O为BD中点，连接OE．
△PBD中，OE∥PB．
∵PB?面ACE，OE?面ACE，OE∥PB，
∴PB∥面ACE  …4′
（2）解：PB∥面ACE，Q∈PB
∴Q在PB上任意一处，V_Q-ACE=V_B-ACE=V_E-ABC…6′
∵ABCD是矩形，AB=4，BC=3，∴△ABC的面积S=

1

2

×4×3=6，…8′
∵PD⊥面ABCD，PD=CD=4，E为PD中点，
∴ED⊥面ABCD，ED=2，…10′
∴V_Q-ACE=V_B-ACE=V_E-ABC=

1

3

×6×2=4．…12′

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查几何体体积的求法，解题时要认真审题，注意等积法的合理运用．