Question

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且a²_n+a_n=2S_n
（1）求a₁
（2）求数列{a_n}的通项；
（3）若b_n=

1

an2

（n∈N^*），T_n=b₁+b₂+…b_n，求证：T_n＜

5

3

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）a²_n+a_n=2S_n中令n=1求a₁
（2）又a²_n+a_n=2S_n有a²_n+1+a_n+1=2S_n+1，两式相减得并整理得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-1）=0，数列{a_n}是以a₁=1，公差为1的等差数列，以此求数列{a_n}的通项；
（3）由（2）得出a_n=n，利用放缩法求证：T_n＜

5

3

．

解答： 解：（1）令n=1，得a₁²+a₁=2S₁=2a₁，∵a₁＞0，∴a₁=1，
（2）又a²_n+a_n=2S_n，
有a²_n+1+a_n+1=2S_n+1，
两式相减得并整理得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-1）=0，
∵a_n＞0，∴a_n+1-a_n=1，∴数列{a_n}是以a₁=1，公差为1的等差数列，
通项公式为a_n=1+（n-1）×1=n；
（3）n=1时b₁=1＜

5

3

符合…（9分）
n≥2时，因为

1

n2

＜

1

n2- 1 4

=

4

4n2-1

=2（

1

2n-1

-

1

2n+1

）
所以T_n=b₁+b₂+…b_n＜1+2（

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=1+

2

3

=

5

3

∴T_n＜

5

3

．

点评：本题考查等差数列的判定与通项公式求解，不等式的证明，是数列与不等式的结合．