Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，满足：S_n=

3

2

（a_n-1），数列{b_n}的前n项和为T_n，满足：T_n=2n²+5n．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若把数列{a_n}，{b_n}的公共项从小到大的顺序排成一数列{t_n}（不需证明），求使得不等式3log₃t_n＞T_n成立的值．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得a_n=S_n-S_n-1=

3

2

(an-1)-

3

2

(an-1-1)=

3

2

(an-an-1)，由此求出an=3n．由b_n=T_n-T_n-1，得到b_n=4n+3．
（Ⅱ）观察数列{a_n}，{b_n}的公共项，猜想，t_n=3²ⁿ⁺¹，则不等式3log₃t_n＞T_n等价于3（2n+1）＞2n²+5n，由此求出n=1．

解答： 解：（Ⅰ）∵S_n=

3

2

（a_n-1），
∴a_n=S_n-S_n-1=

3

2

(an-1)-

3

2

(an-1-1)
=

3

2

(an-an-1)，
整理，得a_n=3a_n-1，
又a1=S1=

3

2

(a1-1)，解得a₁=3，
∴an=3n．
∵数列{b_n}的前n项和为T_n，满足：T_n=2n²+5n．
∴b₁=T₁=2+5=7，
b_n=T_n-T_n-1=（2n²+5n）-[2（n-1）²+5（n-1）]=4n+3，
n=1时，上式成立，
∴b_n=4n+3．
（Ⅱ）观察数列{a_n}，{b_n}的公共项，
t1=33=4×6+3，
t2=35=4×60+3，
t3=37=4×546+3，
由此猜想，t_n=3²ⁿ⁺¹，
则不等式3log₃t_n＞T_n等价于3（2n+1）＞2n²+5n，
即2n²-n-3＜0，
则-1＜n＜

3

2

，∴n=1．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查使不等式成立的值的求法，解题时要认真审题，注意合理猜想的灵活运用．