Question

在△ABC中，点D为边BC上靠近B点的三等分点，动直线MN过AD的中点O，

AB

=

a

，

AC

=

b

，

AN

=m

a

，

AM

=n

b

，则m+2n的最小值为

 

．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义,向量的线性运算性质及几何意义

专题：平面向量及应用

分析：画出图形，如图所示．由于M，O，N三点共线，利用向量共线定理可得：存在实数λ使得

AO

=λ

AN

+(1-λ)

AM

，又

AN

=m

a

，

AM

=n

b

，

AO

=

1

2

AD

．代入可得

AD

=2λm

a

+2n(1-λ)

b

．（*）另一方面：点D为边BC上靠近B点的三等分点，可得

AD

=

AB

+

BD

=

2

3

a

+

1

3

b

．与（*）比较可得：

2λm= 2 3 2n(1-λ)= 1 3

，消去λ化为

2

m

+

1

n

=6．再利用“乘1法”和基本不等式即可得出．

解答： 解：画出图形，如图所示．
∵M，O，N三点共线，∴存在实数λ使得

AO

=λ

AN

+(1-λ)

AM

，
∵

AB

=

a

，

AC

=

b

，

AN

=m

a

，

AM

=n

b

，

AO

=

1

2

AD

．
∴

1

2

AD

=λm

a

+n(1-λ)

b

，即

AD

=2λm

a

+2n(1-λ)

b

．（*）
∵点D为边BC上靠近B点的三等分点，
∴

AD

=

AB

+

BD

=

AB

+

1

3

BC

=

AB

+

1

3

(

AC

-

AB

)=

2

3

AB

+

1

3

AC

=

2

3

a

+

1

3

b

．
与（*）比较可得：

2λm= 2 3 2n(1-λ)= 1 3

，消去λ化为

2

m

+

1

n

=6．
∵m，n＞0，
∴m+2n=

1

6

(

2

m

+

1

n

)(m+2n)=

1

6

(4+

m

n

+

4n

m

)≥

1

6

(4+2

m n • 4n m

)=

4

3

，当且仅当m=2n=

2

3

时取等号．
∴m+2n的最小值为

4

3

．
故答案为：

4

3

．

点评：本题考查了向量的共线定理、共面向量基本定理、向量的三角形法则、“乘1法”和基本不等式，考查了推理能力和技能数列，属于难题．