Question

已知等差数列{a_n}，公差d＞0，前n项和为S_n，S₃=12，且满足a₃-a₁，a₄，a₈成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足2a_n+1-a_n=2ⁿb_nS_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用S₃=12，求出a₂=4，由a₃-a₁，a₄，a₈成等比数列，可得2d•（4+6d）=（4+2d）²，求出d，即可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求出数列{b_n}的通项，利用裂项法，求前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵S₃=12，∴a₂=4，
∵a₃-a₁，a₄，a₈成等比数列，
∴2d•（4+6d）=（4+2d）²，
∴d=2或d=-1，
∵d＞0，
∴d=2，
，∴数列{a_n}的通项公式a_n=2n；
（Ⅱ）∵2a_n+1-a_n=2ⁿb_nS_n，
∴b_n=2[

1

2n-1•n

-

1

2n•(n+1)

]，
∴T_n=2[（

1

20•1

-

1

21•2

）+（

1

21•2

-

1

22•3

）+…+（

1

2n-1•n

-

1

2n•(n+1)

）]=2[1-

1

2n•(n+1)

]
=2-

1

2n-1•(n+1)

．

点评：本题考查等差数列的性质，考查数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．