Question

“解方程（

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）^x+（

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）^x=1”有如下思路：构造函数f（x）=（

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）^x+（

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）^x，易知f（x）在R上单调递减，且f（2）=1，故原方程有唯一解x=2，类比上述解题思路，不等式x⁶-（x+2）＞（x+2）³-x²的解集是

 

．

Answer 1

考点：类比推理,其他不等式的解法

专题：转化思想,函数的性质及应用

分析：关键题意，把不等式变形为x⁶+x²＞（x+2）³+（x+2），利用函数f（x）=x³+x的单调性把该不等式转化为一元二次不等式，从而求出解集．

解答： 解：不等式x⁶-（x+2）＞（x+2）³-x²变形为，
x⁶+x²＞（x+2）³+（x+2）；
令u=x²，v=x+2，
则x⁶+x²＞（x+2）³+（x+2）?u³+u＞v³+v；
考察函数f（x）=x³+x，知f（x）在R上为增函数，
∴f（u）＞f（v），
∴u＞v；
不等式x⁶+x²＞（x+2）³+（x+2）可化为
x²＞x+2，解得x＜-1或x＞2；
∴不等式的解集为：（-∞，-1）∪（2，+∞）．
故答案为：（-∞，-1）∪（2，+∞）．

点评：本题考查了合情推理的应用问题，解题时应把复杂的高次不等式转化为一元二次不等式，构造函数并利用函数的单调性进行转化是关键，是中档题．