Question

设F₁、F₂分别为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点．
（Ⅰ）若椭圆上的点A（1，

3

2

）到点F₁、F₂的距离之和等于4，求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线过F₂斜率为

1

2

，交椭圆于A、B两点，求|AB|的长．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知得

1 a2 + 9 4b2 =1 2a=4

，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）直线方程为y=

1

2

x-

1

2

，联立

y= 1 2 x- 1 2 x2 4 + y2 3 =1

，得4x²-2x-11=0，由此能求出弦长|AB|．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点．
椭圆上的点A（1，

3

2

）到点F₁、F₂的距离之和等于4，
∴

1 a2 + 9 4b2 =1 2a=4

，解得a²=4，b²=3，
∴椭圆C的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）∵直线过F₂（1，0）斜率为

1

2

，
∴直线方程为y=

1

2

x-

1

2

，
联立

y= 1 2 x- 1 2 x2 4 + y2 3 =1

，得4x²-2x-11=0，
△＞0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

1

2

，x₁x₂=-

11

4

，
∴|AB|=

(1+ 1 4 )( 1 4 +4× 11 4 )

=

15

4

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆弦长的求法，是中档题，解题时要注意弦长公式的合理运用．