Question

定义函数f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）f′（x）是f（x）的导函数，若不等式|f′（x）|≤1对任意的x∈[0，1]恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若b＜0，函数f（x）有两个零点满足x₁∈（0，1），x₂∈（1，2），求a-2b的取值范围．

Answer 1

考点：简单线性规划,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）求出函数的导数根据不等式|f′（x）|≤1对任意的x∈[0，1]恒成立，结合一元二次函数的性质即可求实数a的取值范围；
（Ⅱ）根据函数零点的取值范围，建立不等式关系，利用线性规划的知识即可得到结论．

解答： （Ⅰ）∵f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）．
∴f′（x）=）=-3x²+2ax，
当a≤0，必须有|f′（1）|≤1，解得1≤a≤2，此时不成立．
当0＜

a

3

＜1，必须|f′（1）|≤1且|f′（

a

3

）|≤1，解得1≤a≤

3

，
当a≥3，必须|f′（1）|≤1，解得1≤a≤2，不成立．
综上1≤a≤

3

．
（Ⅱ）∵f（0）=b＜0，函数f（x）有两个零点满足x₁∈（0，1），x₂∈（1，2），
∴

f(0)＜0 f(1)＞0 f(2)＜0

，即

b＜0 -1+a+b＞0 -8+4a+b＜0

，
作出可行域如图：则Q（1，0），
由

a+b=1 4a+b=8

，解得

a= 7 3 b=- 4 3

，即P（

7

3

，-

4

3

），
∴t₁=a-2b=1，t2=a-2b=

7

3

+

8

3

=5，
即1＜a-2b＜5．

点评：本题主要考查导数的应用，利用一元二次函数和线性规划的知识是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．