Question

已知极坐标的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同，圆C的参数方程为

x=1+2cosα y= 3 +2sinα

（α为参数），点Q的极坐标为（4，-

2π

3

）．
（Ⅰ）写出圆C的直角坐标方程和极坐标方程；
（Ⅱ）已知点P是圆C上的任意一点，求P，Q两点间距离的最小值．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程,参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（I）利用sin²α+cos²α=1可把圆C的参数方程化为(x-1)2+(y-

3

)2=4，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入即可得到圆C的极坐标方程；
（II）点Q的极坐标为（4，-

2π

3

），化为直角方程Q(-2，-2

3

)．设P(1+2cosα，

3

+2sinα)，利用两点之间的距离公式和余弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：（I）由圆C的参数方程为

x=1+2cosα y= 3 +2sinα

，消去参数α可得(x-1)2+(y-

3

)2=4，
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化为ρ2-2ρcosθ-2

3

ρsinθ=0，化为ρ=4cos(θ-

π

3

)．
（II）点Q的极坐标为（4，-

2π

3

），∴x_Q=4cos(-

2π

3

)=-2，y_Q=4sin(-

2π

3

)=-2

3

，∴Q(-2，-2

3

)．
设P(1+2cosα，

3

+2sinα)，
则|PQ|=

(1+2cosα+2)2+( 3 +2sinα+2 3 )2

=

40+24cos(α- π 3 )

≥

40-24

=4，当α=

4π

3

时，取等号．
∴P，Q两点间距离的最小值为4．

点评：本题考查了同角三角函数的基本关系式、极坐标与直角坐标的互化、两点之间的距离公式、余弦函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．