Question

已知抛物线C：y²=4x的焦点为F．
（1）若点F是线段AP中点，当点A在抛物线C上运动时，求动点P的轨迹方程；
（2）在x轴上是否存在点Q，使得点Q关于直线y=2x的对称点在抛物线C上？如果存在，求所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设动点P的坐标为（x，y），点A的坐标为（x_A，y_A），由点F是线段AP中点，得

xA=2-x yA=-y

，由此利用相关点法能求出动点P的轨迹方程．
（2）设点Q的坐标为（t，0）．点Q关于直线y=2x的对称点为Q′（x，y），由已知得

x=- 3 5 t y= 4 5 t

．由此能求出存在满足题意的点Q扩其坐标．

解答： 解：（1）设动点P的坐标为（x，y），点A的坐标为（x_A，y_A），
则

AP

=（x-x_A，y-y_A），
∵F的坐标为（1，0），∴

FA

=（x_A-1，y_A），
∵点F是线段AP中点，∴（x-x_A，y-y_A）=-2（x_A-1，y_A）．
解得

xA=2-x yA=-y

，
∵点A在抛物线C上运动，
∴动点P的轨迹方程为：y²=4（2-x）=8-4x．
（2）设点Q的坐标为（t，0）．
点Q关于直线y=2x的对称点为Q′（x，y），
则

y x-t =- 1 2 y 2 =x+t

，解得

x=- 3 5 t y= 4 5 t

．
若Q′在C上，将Q′的坐标代入y²=4x，
得4t²+15t=0，即t=0或t=-

15

4

．
∴存在满足题意的点Q，其坐标为（0，0）和（-

15

4

，0）．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查满足条件的点的坐标的求法，解题时要认真审题，注意相关点法的合理运用．