Question

已知函数f（x）=[x²+（2a-2）x+2-2a-b]e^x（a，b∈R）在区间[-1，3]上是减函数，则a+b的最小值是（　　）

• A、4
• B、2
• C、

  3

  2

• D、

  2

  3

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：根据导数的运算法则吗，先求导，再根据区间[-1，3]上是减函数，得到即

2a+b≥1 b-6a≥9

，再利用线性区域，求的最值．

解答： 解：∵f（x）=[x²+（2a-2）x+2-2a-b]e^x（a，b∈R）在区间[-1，3]上是减函数，
∴f′（x）=e^x（x²+2ax-b）＜0，
∴x²+2ax-b＜0，令g（x）=x²+2ax-b，
∵f（x）=[x²+（2a-2）x+2-2a-b]e^x（a，b∈R）在区间[-1，3]上是减函数，
∴

g(-1)≤0 g(3)≤0

，
即

2a+b≥1 b-6a≥9

，①
在坐标平面内作直线 1-2a-b=0、9+6a-b=0，它们交于 A（-1，3），满足①（a，b）是 A 点上方区域，
令a+b=t，则 b=-a+t，t是直线在b轴上的截距，
平移直线，可以看出，当直线过A时，t最小为3-1=2．
故a+b的最小值是2．
故选：B．

点评：本题主要考查了导数与函数的单调性的问题，以及区域线性规划，属于中档题．