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    已知F1、F2是椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的左右两个焦点，O为坐标原点，点P（-1，
    		2
    2
    ）在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足：点M是线段PF2的中点；直线l：y=kx+m与以F1F2为直径的圆O相切，并与椭圆交于不同的两点A、B．
    （1）求椭圆的标准方程；
    （2）设
    OA
    •
    OB
    =λ，求证：λ=
    k2+1
    2k2+1

    （3）当（2）中的λ满足
    2
    3
    ≤λ≤
    3
    4
    时，求△AOB面积S的取值范围．
    考点：直线与圆锥曲线的综合问题
    专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
    分析：（1）利用PF1⊥F1F2，c=1，结合点P（-1，
    		2
    2
    ）在椭圆上，即可求椭圆的标准方程；
    （2）圆O与直线l相切，可得m2=k2+1，直线与椭圆联立，利用韦达定理，利用向量的数量积公式即可证明；
    （3）确定k的范围，表示出面积，即可求△AOB面积S的取值范围．
    解答： （1）解：∵点M是线段PF2的中点，
    ∴OM是△PF1F2的中位线
    又OM⊥F1F2，∴PF1⊥F1F2┅┅┅┅┅┅┅（2分）
    ∴
    c=1
    1
    a2
    +
    1
    2b2
    =1
    a2=b2+c2
           
    解得a2=2，b2=1，c2=1，
    ∴椭圆的标准方程为
    x2
    2
    +y2+1    ┅┅┅┅┅┅┅（4分）
    （2）证明：∵圆O与直线l相切，∴
    |m|
    		k2+1
    =1，∴m2=k2+1┅┅┅┅┅┅┅（5分）
    x2
    2
    +y2=1
    y=kx+m
    ，消去y：（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，
    设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=
    4km
    1+2k2
    ，x1•x2=
    2m2-2
    1+2k2
    ，
    ∴y1•y2=（kx1+m）（kx2+m）
    =k2x1x2+km(x1+x2)+m2=
    1-k2
    1+2k2
    ┅┅┅┅┅┅┅（8分）
    ∴
    OA
    •
    OB
    =x1x2+y1y2    =
    1+k2
    1+2k2
    =λ┅┅┅┅┅┅┅（9分）
    （3）解：∵
    2
    3
    ≤λ≤
    3
    4
    即
    2
    3
    ≤
    1+K2
    1+2K2
    ≤
    3
    4
    ，
    ∴
    1
    2
    ≤k2≤1    ┅┅┅┅┅┅┅（10分）
    S=S△ABO=
    1
    2
    •|AB|•1=
    1
    2
    •
    		1+k2
    •
    		(x1+x2)2-4x1x2

    =
    1
    2
    		1+k2
    •
    		(-
    4km
    1+2k2
    )2-4•
    2m2-2
    1+2k2

    =
    2(k4+k2)
    4(k4+k2)+1
    ┅┅┅┅┅┅┅（12分）
    设μ=k4+k2，则
    3
    4
    ≤μ≤2    ，S=
    2μ
    4μ+1
    ，μ∈[
    3
    4
    ，2]    ，
    ∵S关于μ在[
    3
    4
    ，2]单调递增，S（
    3
    4
    ）=
    		6
    4
    ，S（2）=
    2
    3
    ，
    ∴
    		6
    4
    ≤S≤
    2
    3
    ┅┅┅┅┅┅┅（14分）
    点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．
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    1
    x
    ）=x2+
    1
    x2
    ，求f（x）的解析式．

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    已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为
    		2
    ，且过点（4，-
    		10
    ）．
    ①求双曲线方程．
    ②若直线l：x-2y+6=0与双曲线相交于A、B两点，求|AB|．

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    求函数y=|1-
    1
    x
    -
    1
    x-1
    |最小值．

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    如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=CD，AB=4，BC=3，E是PD的中点．
    （1）证明：PB∥平面ACE
    （2）求二面角E-AC-B的平面角的余弦值．

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    已知中心在原点O，左焦点为F1（-1，0）的椭圆C1的左顶点为A，上顶点为B，F1到直线AB的距离为
    		7
    7
    |OB|．
    （1）求椭圆C1的方程；
    （2）若椭圆C1方程为：
    x2
    m2
    +
    y2
    n2
    =1（m＞n＞0），椭圆C2方程为：
    x2
    m2
    +
    y2
    n2
    =λ（λ＞0，且λ≠1），则称椭圆C2是椭圆C1的λ倍相似椭圆．已知C2是椭圆C1的3倍相似椭圆，若直线y=kx+b与两椭圆C1、C2交于四点（依次为P、Q、R、S），且
    PS
    +
    RS
    =2
    QS
    ，试求动点E（k，b）的轨迹方程．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知f（x）=
    eax
    x
    ，其中e为自然对数的底数．
    （Ⅰ）若f（x）是[1，+∞）上的增函数，求实数a的取值范围；
    （Ⅱ）当a=
    1
    2
    时，求函数f（x）在[m，m+1]（m＞0）上的最小值；
    （Ⅲ）求证：
    n
    i=1
    1
    i•(
    		e
    )    i
    ＜
    7
    2e
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上椭圆的充要条件是
     
    ．

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