Question

已知中心在原点O，左焦点为F₁（-1，0）的椭圆C₁的左顶点为A，上顶点为B，F₁到直线AB的距离为

7

7

|OB|．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）若椭圆C₁方程为：

x2

m2

+

y2

n2

=1（m＞n＞0），椭圆C₂方程为：

x2

m2

+

y2

n2

=λ（λ＞0，且λ≠1），则称椭圆C₂是椭圆C₁的λ倍相似椭圆．已知C₂是椭圆C₁的3倍相似椭圆，若直线y=kx+b与两椭圆C₁、C₂交于四点（依次为P、Q、R、S），且

PS

+

RS

=2

QS

，试求动点E（k，b）的轨迹方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出F₁（-1，0），a²+b²=7（a-1）²，b²=a²-1，由此能求出椭圆C₁的方程．
（2）设Q，R，P，S各点坐标依次为（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），（x₄，y₄），将y=kx+b代入椭圆C₁方程，得：
（3+4k²）x²+8kbx+4b²-12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式结合已知条件能求出动点E（k，b）的轨迹方程．

解答： 解：（1）设椭圆C₁的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，
∴直线AB的方程为

x

-a

+

y

b

=1，
∴F₁（-1，0）到直线AB的距离为d=

|b-ab|

a2+b2

=

7

7

b，
∴a²+b²=7（a-1）²，
又b²=a²-1，解得a=2，b=

3

，
∴椭圆C₁的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）椭圆C₁的3倍相似椭圆C₂的方程为

x2

12

+

y2

9

=1，
设Q，R，P，S各点坐标依次为（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），（x₄，y₄），
将y=kx+b代入椭圆C₁方程，得：
（3+4k²）x²+8kbx+4b²-12=0，
∴△₁=（8kb）²-4（3+4k²）（4b²-12）=48（4k²+3-b²）＞0，（*）
此时，x₁+x₂=-

8kb

3+4k2

，x1x2=

4b2-12

3+4k2

，
∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 3(4k2+3-b2)

3+4k2

，
将y=kx+b代入椭圆C₂的方程，得：
（3+4k²）x²+8kbx+4b²-36=0，
∴x₃+x₄=-

8kb

3+4k2

，x₃x₄=

4b2-36

3+4k2

，
|x₃-x₄|=

4 3(12k2+9-b2)

3+4k2

，
∴x₁+x₂=x₃+x₄，
∴线段PS，QR中点相同，∴|PQ|=|RS|，
由

PS

+

RS

=2

QS

，

PQ

=

QR

，
∴|PS|=3|QR|，解得|x₃-x₄|=3|x₁-x₂|，
∴

4 3(12k2+9-b2)

3+4k2

=3×

4 3(k2+3-b2)

3+4k2

，
12k²+9=4b²，满足（*）式，
∴动点E（k，b）的轨迹方程为

4b2

9

-

4k2

3

=1．

点评：本题考查椭圆C₁的方程的求法，考查点的轨迹方程的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．