【题目】如图1,在高为2的梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2,CD=5,过A,B分别作AE⊥CD,BF⊥CD,垂足分别为E,F.已知DE=1,将梯形ABCD沿AE,BF同侧折起,得空间几何体ADEBCF,如图2.若DE∥CF,CD=,在线段AB上是否存在点P,使得CP与平面ACD所成角的正弦值为
?并说明理由.
【答案】存在;详见解析
【解析】
由已知可得AE⊥平面DEFC,在梯形中,根据长度关系可得
,建立空间直角坐标系,求出
坐标,进而求出平面ACD的法向量坐标,设
,将
坐标用
表示,根据线面角公式结合已知,即可求解.
当P为AB的中点时满足条件.理由如下:
∵AE⊥DE,AE⊥EF,DE∩EF=E,∴AE⊥平面DEFC.
取中点
,连
,
四边形为平行四边形,
,
如图,过E作EG⊥EF交DC于点G,
可知GE,EA,EF两两垂直,以E为坐标原点,
以分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,
则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,1,),
D,
,
设平面ACD的法向量为=(x,y,z),
则,即
,
令x=1,得.
设,
则,λ∈(0,+∞),
可得.
设CP与平面ACD所成的角为θ,
则,
整理得,解得λ=1或λ=
(舍去),
∴P为AB的中点时,满足条件.
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【题目】博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车,等可能随机顺序前往酒店接嘉宾.某嘉宾突发奇想,设计两种乘车方案.方案一:不乘坐第一辆车,若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号,就乘坐此车,否则乘坐第三辆车;方案二:直接乘坐第一辆车.记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1,P2,则( )
A. P1P2= B. P1=P2=
C. P1+P2=
D. P1<P2
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【题目】为了减轻家庭困难的高中学生的经济负担,让更多的孩子接受良好的教育,国家施行高中生国家助学金政策,普通高中国家助学金平均资助标准为每生每年1500元,具体标准由各地结合实际在1000元至3000元范围内确定,可以分为两或三档.各学校积极响应政府号召,通过各种形式宣传国家助学金政策.为了解某高中学校对国家助学金政策的宣传情况,拟采用随机抽样的方法抽取部分学生进行采访调查.
(1)若该高中学校有2000名在校学生,编号分别为0001,0002,0003,…,2000,请用系统抽样的方法,设计一个从这2000名学生中抽取50名学生的方案.(写出必要的步骤)
(2)该校根据助学金政策将助学金分为3档,1档每年3000元,2档每年2000元,3档每年1000元,某班级共评定出3个1档,2个2档,1个3档,若从该班获得助学金的学生中选出2名写感想,求这2名同学不在同一档的概率.
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【题目】已知分别为椭圆
的左、右焦点,
为该椭圆的一条垂直于
轴的动弦,直线
与
轴交于点
,直线
与直线
的交点为
.
(1)证明:点恒在椭圆
上.
(2)设直线与椭圆
只有一个公共点
,直线
与直线
相交于点
,在平面内是否存在定点
,使得
恒成立?若存在,求出该点坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,点P,Q分别为A1B1,BC的中点.
(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值;
(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值.
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【题目】已知圆,线段
、
都是圆
的弦,且
与
垂直且相交于坐标原点
,如图所示,设△
的面积为
,设△
的面积为
.
(1)设点的横坐标为
,用
表示
;
(2)求证:为定值;
(3)用、
、
、
表示出
,试研究
是否有最小值,如果有,求出最小值,并写出此时直线
的方程;若没有最小值,请说明理由.
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【题目】已知三棱锥的棱长均为6,其内有
个小球,球
与三棱锥
的四个面都相切,球
与三棱锥
的三个面和球
都相切,如此类推,…,球
与三棱锥
的三个面和球
都相切(
,且
),则球
的体积等于__________,球
的表面积等于__________.
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