Question

【题目】已知数列满足

（1）当时，写出所有可能的值；

（2）当时，若且对任意恒成立，求数列的通项公式；

（3）记数列的前项和为，若分别构成等差数列，求.

Answer 1

【答案】（1）或或或；（2）；（3）

【解析】

（1）构造新数列后分类讨论即可得解；

（2）转化条件得，，作差得，求出后再求出即可得解；

（3）转化条件得，，分组求和即可得解.

（1）当时，，

即是以为首项、为公差的等差数列，

，

可得：，，，，

或或或.

（2）当时，

即是首项为.公差为的等差数列，

，

，，

且，

，，

，，

，

.

（3）由己知得①

若，分别构成等差数列，

则，②

，③

，④

由②+③得:

是等差数列， 必为定值，

或，

即或，

而由①知，即

，

即或（舍）

，.

同理，由③+④得:

或，

由上面的分析可知:

而，，

即或（舍）

，从而

.