【题目】已知函数.
(Ⅰ)讨论的单调性,并证明有且仅有两个零点;
(Ⅱ)设是的一个零点,证明曲线在点处的切线也是曲线的切线.
【答案】(Ⅰ)在,单调递增,证明见解析;(Ⅱ)见解析.
【解析】
(Ⅰ)先求得函数的定义域,利用导数求得函数的单调区间,结合零点存在性定理证得有且仅有两个零点.
(Ⅱ)令,得.利用求得曲线在处的切线,求得与此切线的斜率相等的曲线的切线方程,利用判断出这两条切线方程相同,由此证得结论成立.
(Ⅰ)的定义域为,
因为,所以在,单调递增.
因为,,所以在有唯一零点,
因为,由,得;
因为,所以在有唯一零点.
综上,有且仅有两个零点.
(Ⅱ)由题设知,即,
由,得,曲线在处的切线为:
,即.
由,得,则曲线的斜率为的切线的切点横坐标满足,解得,代入,得,
故曲线的斜率为的切线方程为,即,
由,得,从而与为同一条直线.
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【题目】某企业在“精准扶贫”行动中,决定帮助一贫困山区将水果运出销售.现有8辆甲型车和4辆乙型车,甲型车每次最多能运6吨且每天能运4次,乙型车每次最多能运10吨且每天能运3次,甲型车每天费用320元,乙型车每天费用504元.若需要一天内把180吨水果运输到火车站,则通过合理调配车辆,运送这批水果的费用最少为( )
A.2400元B.2560元C.2816元D.4576元
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【题目】已知函数在处的切线与直线平行.
(1)求实数的值;
(2)若函数在上恰有两个零点,求实数的取值范围.
(3)记函数,设是函数的两个极值点,若,且恒成立,求实数的最大值.
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【题目】已知有穷数列共有项,首项,设该数列的前项和为,且其中常数.
(1)求证:数列是等比数列
(2)若,数列满足,求出数列的通项公式
(3)若(2)中的数列满足不等式,求出的值
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【题目】如图,已知椭圆 的长轴,长为4,过椭圆的右焦点作斜率为()的直线交椭圆于、两点,直线,的斜率之积为.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知直线,直线,分别与相交于、两点,设为线段的中点,求证:.
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