Question

【题目】已知函数，．

(1)求证：在区间上无零点；

(2)求证：有且仅有2个零点．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

(1)求出，再求出函数的单调区间，从而分析其图像与轴无交点即可.
(2)显然是函数的零点,再分析在上和在上无零点,在上有一个零点，从而得证.

(1)，．

当时，；当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减．

而，，

所以当时，，

所以在区间上无零点．

(2)的定义域为．

①当时，，，

所以，从而在上无零点．

②当时，，从而是的一个零点．

③当时，由(1)知，所以，又，

所以，从而在上无零点．

④当时，，，

所以在上单调递减．

而，，从而在上有唯一零点．

⑤当时，，所以，从而在上无零点．

综上，有且仅有2个零点．