Question

【题目】已知无穷数列的各项都是正数，其前项和为，且满足：，，其中，常数．

（1）求证：是一个定值；

（2）若数列是一个周期数列（存在正整数，使得对任意，都有成立，则称为周期数列，为它的一个周期），求该数列的最小周期；

（3）若数列是各项均为有理数的等差数列，（），问：数列中的所有项是否都是数列中的项？若是，请说明理由；若不是，请举出反例．

Answer 1

【答案】(1)见解析 (2) 最小周期为．(3)不是，见解析

【解析】

（1）由rSn＝anan+1﹣1，利用迭代法得：ran+1＝an+1（an+2﹣an），由此能够证明an+2﹣an为定值．

（2）当n＝1时，ra＝aa2﹣1，故a2，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项，再由r＞0和r＝0两种情况进行讨论，能够求出该数列的周期．

（3）因为数列{an}是一个有理等差数列，所以a+a＝r＝2（r），化简2a2﹣ar﹣2＝0，解得a是有理数，由此入手进行合理猜想，能够求出Sn．

（1）由 ①， 得 ②

②－①，得，

因为，所以（定值）．

（2）当时，，故，，

根据（1）知，数列的奇数项和偶数项分别成等差数列，公差都是，所以，

，，

当时，的奇数项与偶数项都是递增的，不可能是周期数列，

所以，所以，，所以，数列是周期数列，其最小周期为．

（3）因为数列是有理项等差数列，由，，，得

，整理得，

得（负根舍去），

因为是有理数，所以是一个完全平方数，设（），

当时，（舍去）．

当时，由，得，

由于，，所以只有，符合要求，

此时，数列的公差，所以（）．

对任意，若是数列中的项，令，即，

则，时，，时，，

故不是数列中的项．