【题目】已知双曲线 C 经过点 (2,3),它的渐近线方程为 y = ±.椭圆 C1与双曲线 C有相同的焦点,椭圆 C1的短轴长与双曲线 C 的实轴长相等.
(1)求双曲线 C 和椭圆 C1 的方程;
(2)经过椭圆 C1 左焦点 F 的直线 l 与椭圆 C1 交于 A、B 两点,是否存在定点 D ,使得无论 AB 怎样运动,都有∠ADF = ∠BDF ?若存在,求出 D 点坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);
(2)存在点D
【解析】
(1)双曲线的方程为:
,则
.设椭圆
的方程;
椭圆
的短轴长与双曲线
的实轴长相等,椭圆
与双曲线
有相同的焦点
即可得
、
、
(2)直线垂直
轴时,
、
两点关于
轴对称,要使
,则点
必在
轴上,设
,直线
不垂直
轴时,
的方程设为:
,设
,
,
,
,联立
得
.要使
,即直线
、
的斜率互为相反数,即
,求得
解:(1)双曲线方程为:
,则
.
双曲线
的方程为
.
设椭圆的方程;
椭圆的短轴长与双曲线
的实轴长相等,
椭圆
的短轴长为
,椭圆
与双曲线
有相同的焦点
,
即,
,椭圆
的方程为:
;
(2)直线垂直
轴时,
、
两点关于
轴对称,
,
要使
,则点
必在
轴上,
设,直线
不垂直
轴时,
的方程设为:
,
设,
,
,
,联立
得
.
.
,
直线
、
的斜率互为相反数,
即,
时恒成立.
时,
;
存在定点
,
,使得无论
怎样运动,都有
.
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【题目】A地的天气预报显示,A地在今后的三天中,每一天有强浓雾的概率为,现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率,先利用计算器产生
之间整数值的随机数,并用0,1,2,3,4,5,6表示没有强浓雾,用7,8,9表示有强浓雾,再以每3个随机数作为一组,代表三天的天气情况,产生了如下20组随机数:
402 978 191 925 273 842 812 479 569 683
231 357 394 027 506 588 730 113 537 779
则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为
A. B.
C.
D.
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【题目】如图是某市10月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数越小表示空气质量越好,空气质量指数小于100表示空气质量优良,下列叙述中不正确的是( )
A.这14天中有7天空气质量优良
B.这14天中空气质量指数的中位数是103
C.从10月11日到10月14日,空气质量越来越好
D.连续三天中空气质量指数方差最大的是10月5日至10月7日
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【题目】已知无穷数列的各项都是正数,其前
项和为
,且满足:
,
,其中
,常数
.
(1)求证:是一个定值;
(2)若数列是一个周期数列(存在正整数
,使得对任意
,都有
成立,则称
为周期数列,
为它的一个周期),求该数列的最小周期;
(3)若数列是各项均为有理数的等差数列,
(
),问:数列
中的所有项是否都是数列
中的项?若是,请说明理由;若不是,请举出反例.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数).以坐标原点
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求的极坐标方程;
(2)将曲线上所有点的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的
倍,得到曲线
,若
与
的交点为
(异于坐标原点
),
与
的交点为
,求
.
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【题目】已知圆与椭圆
相交于点M(0,1),N(0,-1),且椭圆的离心率为
.
(1)求的值和椭圆C的方程;
(2)过点M的直线交圆O和椭圆C分别于A,B两点.
①若,求直线
的方程;
②设直线NA的斜率为,直线NB的斜率为
,问:
是否为定值? 如果是,求出定值;如果不是,说明理由.
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【题目】在直角坐标系xOy中,动点P与定点的距离和它到定直线
的距离之比是
,设动点P的轨迹为E.
(1)求动点P的轨迹E的方程;
(2)设过F的直线交轨迹E的弦为AB,过原点的直线交轨迹E的弦为CD,若,求证:
为定值.
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【题目】如图,D是AC的中点,四边形BDEF是菱形,平面平面ABC,
,
,
.
若点M是线段BF的中点,证明:
平面AMC;
求平面AEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值.
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