Question

【题目】如图，已知椭圆 的长轴，长为4，过椭圆的右焦点作斜率为（）的直线交椭圆于、两点，直线，的斜率之积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知直线，直线，分别与相交于、两点，设为线段的中点，求证：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）由长轴长为4可得a，设出点B，C的坐标，利用斜率之积为，可得，即可得到b2，可得椭圆方程；

（2）设直线BC的方程为：y＝k（x﹣1）与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，直线的方程为：y（x+2）与x=4联立，可得点M，N的坐标，可得线段MN的中点E．利用根与系数的关系及其斜率计算公式可得，只要证明1即可．

（1）设，，因点在椭圆上，所以，

故.又，，

所以，即，又，所以

故椭圆的方程为.

（2）设直线的方程为：，，，

联立方程组，消去并整理得，

，则，.

直线的方程为，令得，

同理，；

所以，

代入化简得，即点，又，

所以，所以.