Question

【题目】已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）已知且，若函数没有零点，求证：．

Answer 1

【答案】(1)见解析 (2)证明见解析

【解析】

(1)求导后分和两种情况进行讨论即可.

(2)由题函数没有零点,转换为与在无交点,再求导分析的单调性与最值,进而求得的取值范围.再代入,构造函数分析单调性与最值证明即可.

解法一：（1）

当时，令得或；

令得．

∴函数的单调递增区间为和，

单调递减区间为

当时，令得；

令得或．

∴函数的单调递增区间为，

单调递减区间为和.

综上所述,当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和.

（2）函数在时无零点，即在无解

则与在无交点

，在上单调递增

，∴

则

由（1）得在上单调递增

要证

即证

即证

即证

令

在时单调递增，

所以原不等式成立．

解法二：（1）同解法一

（2）函数在时无零点，即在无解

则与在无交点

，在上单调递增

，∴

则

要证，

即证，

即证

因为，

所以只需证 ，

即证 ，

令

，

在时单调递增，

，

所以原不等式成立．