Question

【题目】如图，椭圆的离心率是，左右焦点分别为，，过点的动直线与椭圆相交于，两点，当直线过时，的周长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）当时，求直线方程；

（3）已知点，直线，的斜率分别为，.问是否存在实数，使得恒成立？

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)存在，

【解析】

（1）由焦点三角形的周长特点可求出值，再结合椭圆离心率是，可求出，进而求得椭圆标准方程；

（2），设直线方程为，，，可联立直线方程和椭圆标准方程，得出两根和与积的表达式，再结合，代换出与的关系式；

（3）先用必要性探路，找特殊情况，当轴可知，此时存在使得成立，根据题意和斜率定义表示出，结合（2）中韦达定理即可得证

（1）由椭圆定义知的周长为，

所以，所以

又离心率，所以，所以

所以椭圆的方程为.

（2）当轴，

所以可设，，

则，消去得

所以

因为，

所以，即代入化简得

所以

解得

所以直线方程为：，

（3）当轴可知，此时存在使得成立，

下面证明当时恒成立

因为

所以恒成立

即存在，使得恒成立.