Question

【题目】已知的图像关于坐标原点对称.

（1）求的值；

（2）若函数在内存在零点，求实数的取值范围；

（3）设，若不等式在上恒成立，求满足条件的最小整数的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）根据函数的图像关于坐标原点对称，可得是定义在的奇函数，图像必过原点，即，即可求出值。

（2）函数在内存在零点，方程在内有解，分析在的单调性以及端点值的函数值符号，进而根据零点存在定理得到结论。

（3）由不等式在上恒成立，利用基本不等式可求出满足条件的的范围，进而求出最小整数的值。

解：（1）由题意知是上的奇函数，∴，得．

（2），

由题设知在内有解，即方程在内有解．

∴在内单调递增，∴；

故当时，函数在内存在零点．

（3）由，得，，

显然时，，即．

设，由于，；

于是，；

故满足条件的最小整数的值是．