Question

【题目】如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为4的正三角形，B，E，F分别是AA1 ， CC1的中点，且BE⊥B1F．

（Ⅰ）求证：B1F⊥EC1；
（Ⅱ）求二面角C1﹣BE﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）分别取BC1 ， BC中点D，G，连结ED，AG， ∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，且底面是正三角形，
∴AG⊥面BCC1B1 ，
又∵E，D都是中点，∴ED∥AG，则ED⊥面BCC1B1 ， 可得ED⊥B1F，
已知BE⊥B1F，且BE∩ED=E，∴B1F⊥面BEC1 ， 则B1F⊥EC1；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知B1F⊥面BEC1 ， ∴B1F⊥BC1 ， 则△B1C1F∽△BB1C1 ，
∴ ，设BB1=a，则C1F= ，代入得a= ，
以O为原点，OE为x轴，OC为y轴，过O作平面ABC的垂线为z轴，建立如图坐标系O﹣xyz，

得C（0，2，0），B（ ，0，0），E（0，﹣2， ），
C1（0，2，4 ），B1（ ，0， ），F（0，2，2 ）．
∵B1F⊥面BEC1 ， ∴平面BEC1的一个法向量为 ；
设平面BEC的一个法向量为 ，
则 ，取x= ，得y=3，z= ．
∴ ．
∴cos＜ ＞= = =- ．
∴二面角C1﹣BE﹣C的余弦值为 ．
【解析】（Ⅰ）分别取BC1 ， BC中点D，G，连结ED，AG，推导出AG⊥面BCC1B1 ， 从而ED⊥B1F，BE⊥B1F，由此能证明B1F⊥面BEC1 ， 进一步得到B1F⊥EC1；（Ⅱ）以O为原点，OE为x轴，OC为y轴，过O作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角C1﹣BE﹣C的余弦值．