【题目】已知函数在
处的切线
与直线
平行.
(1)求实数的值;
(2)若函数在
上恰有两个零点,求实数
的取值范围.
(3)记函数,设
是函数
的两个极值点,若
,且
恒成立,求实数
的最大值.
【答案】(1);(2)
;(3)
【解析】
(1)利用导数和切线的斜率列方程,解方程求得的值.
(2)由(1)求得的解析式.构造函数
,利用导数研究
的单调性,以及极值,结合
在
上恰有两个零点列不等式组,解不等式组求得
的取值范围.
(3)利用导数,结合根与系数关系,求得两个极值点的关系式,将
表示为只含
的表达式,由此利用导数求得
的最小值,由此求得
的取值范围.
(1),
∵函数在
处的切线
与直线
平行,
∴,解得
;
(2)由(1)得,
∴函数,
令,则
,
令得
,
,列表得:
1 | (1,2) | 2 | |||
0 | 0 | ||||
| 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
|
∴当时,
的极小值为
,又
,
∵函数在
上恰有两个零点
∴即
,解得
.
(3),∴
,
令得
,
∵,
是
的极值点,∴
,
,∴
,
∵,∴
解得:
,
∴,
令,
则,∴
在
上单调递减;
∴当时
,∴
的最大值为
.
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【题目】已知抛物线:
上横坐标为4的点到焦点的距离为5.
(1)求抛物线的方程;
(2)设直线与抛物线
交于两点
、
,且
,
是弦
中点,过
作平行于
轴的直线交抛物线
于点
,得到
,再分别过弦
、
的中点作平行于
轴的直线依次交抛物线
于点
、
,得到
和
,按此方法继续下去,解决下列问题:
①求证:;
②计算的面积
;
③根据的面积
的计算结果,写出
、
的面积,请设计一种求抛物线
与线段
所围成封闭图形面积的方法,并求此封闭图形的面积.
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【题目】以下四个命题:①命题“若,则
”的逆否命题为“若
,则
”;②“
”是“
”的充分不必要条件; ③若
为假命题,则
均为假命题;④对于命题
使得
,则
为
,均有
.其中,真命题的个数是 ( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
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【题目】在平面直角坐标系中,动点
到点
的距离和它到直线
的距离相等,记点
的轨迹为
.
(1)求的方程;
(2)设点在曲线
上,
轴上一点
(在点
右侧)满足
,若平行于
的直线与曲线
相切于点
,试判断直线
是否过点
?并说明理由.
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【题目】为了适应新高考改革,某校组织了一次新高考质量测评(总分100分),在成绩统计分析中,抽取12名学生的成绩以茎叶图形式表示如图,学校规定测试成绩低于87分的为“未达标”,分数不低于87分的为“达标”.
(1)求这组数据的众数和平均数;
(2)在这12名学生中从测试成绩介于80~90之间的学生中任选2人,求至少有1人“达标”的概率.
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【题目】已知椭圆:
的左、右焦点分别为
、
,
是椭圆
的上顶点,
,且
的面积为1.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设、
是椭圆
上的两个动点,
,求当
的面积取得最大值时,直线
的方程.
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【题目】(2017高考新课标Ⅲ,理19)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.
(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;
(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D–AE–C的余弦值.
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【题目】某学校为了解高二学生学习效果,从高二第一学期期中考试成绩中随机抽取了25名学生的数学成绩(单位:分),发现这25名学生成绩均在90~150分之间,于是按,
,…,
分成6组,制成频率分布直方图,如图所示:
(1)求的值;
(2)估计这25名学生数学成绩的平均数;
(3)为进一步了解数学优等生的情况,该学校准备从分数在内的同学中随机选出2名同学作为代表进行座谈,求这两名同学分数在不同组的概率.
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