【题目】如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知底面ABCD的边长AB=3,侧棱AA1=2,E是棱CC1的中点,点F满足 =2.
(1)求异面直线FE和DB1所成角的余弦值;
(2)记二面角E-B1F-A的大小为θ,求|cosθ|.
【答案】(1).(2).
【解析】
(1)先根据题意建立空间直角坐标系,求得向量和向量的坐标,再利用线线角的向量方法求解.
(2)先求得平面B1FE的一个法向量,易知平面AB1F的一个法向量,再利用面面角的向量方法求解.
(1) 在正四棱柱ABCDA1-B1C1D1中,
以为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.
因为AB=3,AA1=2,
E是CC1的中点, =2,
所以E(0,3,1),F(3,2,0),B1(3,3,2).
从而=(-3,1,1),=(3,3,2).
设异面直线FE和DB1所成的角为α,
则cosα=|cos〈,〉|===.
因此,异面直线FE和DB1所成角的余弦值为.
(2)设平面B1FE的法向量为=(x,y,).
因为=(-3,1,1),=(0,1,2),
由得所以
取z=-3,则平面B1FE的一个法向量为=(1,6,-3).
又因为平面AB1F的一个法向量为=(1,0,0),
所以cos〈,〉==.
因此cosθ|=| cos〈,〉|=.
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【题目】为了减轻家庭困难的高中学生的经济负担,让更多的孩子接受良好的教育,国家施行高中生国家助学金政策,普通高中国家助学金平均资助标准为每生每年1500元,具体标准由各地结合实际在1000元至3000元范围内确定,可以分为两或三档.各学校积极响应政府号召,通过各种形式宣传国家助学金政策.为了解某高中学校对国家助学金政策的宣传情况,拟采用随机抽样的方法抽取部分学生进行采访调查.
(1)若该高中学校有2000名在校学生,编号分别为0001,0002,0003,…,2000,请用系统抽样的方法,设计一个从这2000名学生中抽取50名学生的方案.(写出必要的步骤)
(2)该校根据助学金政策将助学金分为3档,1档每年3000元,2档每年2000元,3档每年1000元,某班级共评定出3个1档,2个2档,1个3档,若从该班获得助学金的学生中选出2名写感想,求这2名同学不在同一档的概率.
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【题目】已知三棱锥的棱长均为6,其内有个小球,球与三棱锥的四个面都相切,球与三棱锥的三个面和球都相切,如此类推,…,球与三棱锥的三个面和球都相切(,且),则球的体积等于__________,球的表面积等于__________.
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【题目】如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=,∠BAD=120°.
(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值;
(2)求二面角B-A1D-A的正弦值.
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【题目】如图,在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中,A1E=CF=1.
(1)求异面直线AC1与D1E所成角的余弦值;
(2)求直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值.
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【题目】如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,∠ABC=∠BAD=90°,AD=AP=4,AB=BC=2,M为PC的中点.
(1)求异面直线AP,BM所成角的余弦值;
(2)点N在线段AD上,且AN=λ,若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为,求λ的值.
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【题目】已知椭圆C:()的两焦点与短轴两端点围成面积为12的正方形.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)我们称圆心在椭圆上运动,半径为的圆是椭圆的“卫星圆”.过原点O作椭圆C的“卫星圆”的两条切线,分别交椭圆C于A、B两点,若直线、的斜率为、,当时,求此时“卫星圆”的个数.
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【题目】“双11”促销活动中,某商场为了吸引顾客,搞好促销活动,采用“双色球”定折扣的方式促销,即:在红、黄的两个纸箱中分别装有大小完全相同的红、黄球各5个,每种颜色的5个球上标有1,2,3,4,5等5个数字,顾客结账时,先分别从红、黄的两个纸箱中各取一球,按两个球的数字之和为折扣打折,如,就按3折付款,并规定取球后不再增加商品.按此规定,顾客享有6折及以下折扣的概率是( )
A.B.C.D.
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