【题目】如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=,∠BAD=120°.
(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值;
(2)求二面角B-A1D-A的正弦值.
【答案】(1) .(2) .
【解析】试题分析:(1)先根据条件建立空间直角坐标系,进而得相关点的坐标,求出直线A1B与AC1的方向向量,根据向量数量积求出方向向量夹角,最后根据异面直线所成角与方向向量夹角之间相等或互补可得夹角的余弦值;(2)根据建立的空间直角坐标系,得相关点的坐标,求出各半平面的法向量,根据向量数量积求出法向量的夹角,最后根据二面角与法向量夹角之间关系确定二面角的正弦值.
试题解析:解:在平面ABCD内,过点A作AEAD,交BC于点E.
因为AA1平面ABCD,
所以AA1AE,AA1AD.
如图,以为正交基底,建立空间直角坐标系A-xyz.
因为AB=AD=2,AA1=, .
则.
(1) ,
则.
因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为.
(2)平面A1DA的一个法向量为.
设为平面BA1D的一个法向量,
又,
则即
不妨取x=3,则,
所以为平面BA1D的一个法向量,
从而,
设二面角B-A1D-A的大小为,则.
因为,所以.
因此二面角B-A1D-A的正弦值为.
点睛:利用法向量求解空间线面角、面面角的关键在于“四破”:①破“建系关”,构建恰当的空间直角坐标系;②破“求坐标关”,准确求解相关点的坐标;③破“求法向量关”,求出平面的法向量;④破“应用公式关”.
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【题目】某高校健康社团为调查本校大学生每周运动的时长,随机选取了80名学生,调查他们每周运动的总时长(单位:小时),按照共6组进行统计,得到男生、女生每周运动的时长的统计如下(表1、2),规定每周运动15小时以上(含15小时)的称为“运动合格者”,其中每周运动25小时以上(含25小时)的称为“运动达人”.
表1:男生
时长 | ||||||
人数 | 2 | 8 | 16 | 8 | 4 | 2 |
表2:女生
时长 | ||||||
人数 | 0 | 4 | 12 | 12 | 8 | 4 |
(1)从每周运动时长不小于20小时的男生中随机选取2人,求选到“运动达人”的概率;
(2)根据题目条件,完成下面列联表,并判断能否有99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关.
每周运动的时长小于15小时 | 每周运动的时长不小于15小时 | 总计 | |
男生 | |||
女生 | |||
总计 | |||
参考公式:,其中.
参考数据:
0.40 | 0.25 | 0.10 | 0.010 | |
0.708 | 1.323 | 2.706 | 6.635 |
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【题目】已知直线l与抛物线C:y2=4x交于A,B两点,M(2,y0)(y0≠0)为弦AB的中点,过M作AB的垂线交x轴于点P
(1)求点P的坐标;
(2)当弦AB最长时,求直线l的方程.
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【题目】“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称,旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系,共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2013年以来,“一带一路”建设成果显著.下图是2013-2017年,我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图.下列描述错误的是( )
A.这五年,2013年出口额最少
B.这五年,出口总额比进口总额多
C.这五年,出口增速前四年逐年下降
D.这五年,2017年进口增速最快
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【题目】同学们有没有读过莎士比亚的名剧《威尼斯商人》?数学家斯摩林在剧中增加了一个情节:安东尼奥到鲍西娅家向她求婚,鲍西娅拿出一金、一银、一铝三个盒子,说:“每只盒子上写了一句话,但只有一句是真的.谁能猜中我的肖象在哪只盒子中,才能做我的丈夫”.如果你是聪明、政治的安东尼奥,请问肖象在哪个盒子内?(请从金盒、银盒、铝盒中选择一个填在横线上)________.
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【题目】在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB⊥AC,AB=2,AC=4,AA1=3,D是BC的中点.
(1) 求直线DC1与平面A1B1D所成角的正弦值;
(2) 求二面角的余弦值.
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【题目】如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知底面ABCD的边长AB=3,侧棱AA1=2,E是棱CC1的中点,点F满足 =2.
(1)求异面直线FE和DB1所成角的余弦值;
(2)记二面角E-B1F-A的大小为θ,求|cosθ|.
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【题目】近年来,随着网络的普及和智能手机的更新换代,各种方便的相继出世,其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用的主要用途,随机抽取了名大学生进行调查,各主要用途与对应人数的结果统计如图所示,现有如下说法:
①可以估计使用主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数;
②可以估计不足的大学生使用主要玩游戏;
③可以估计使用主要找人聊天的大学生超过总数的.
其中正确的个数为( )
A.B.C.D.
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【题目】(本小题14分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.
(Ⅰ)求证:PE⊥BC;
(Ⅱ)求证:平面PAB⊥平面PCD;
(Ⅲ)求证:EF∥平面PCD.
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