【题目】如图,在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中,A1E=CF=1.
(1)求异面直线AC1与D1E所成角的余弦值;
(2)求直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值.
【答案】(1).(2)
【解析】
(1)先根据题意建立空间直角坐标系,分别求得向量与向量的坐标,再利用线线角的向量方法求解.
(2)先求得平面BED1F的一个法向量,向量的坐标,再利用线面角向量方法求解.
(1) 因为DA,DC,DD1两两垂直,所以分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.
因为棱长为 3, A1E=CF=1,
则D(0,0,0),A(3,0,0),B(3,3,0),D1(0,0,3),C1(0,3,3),E(3,0,2),F(0,3,1).
所以=(-3,3,3),=(3,0,-1),
所以cos〈〉=
=
=-,
所以异面直线 AC1与 D1E 所成角的余弦值是.
(2)设平面 BED1F的法向量是=(x,y,z),
又因为=(0,-3,2),=(-3,0,1),⊥,⊥,
所以·=0, ·=0,
即,令z=3,
得x=1,y=2,所以=(1,2,3).
又=(-3,3,3),
所以cos〈,〉=
==,
所以直线 AC1与平面 BED1F 所成角的正弦值为.
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【题目】某北方村庄4个草莓基地,采用水培阳光栽培方式种植的草莓个大味美,一上市便成为消费者争相购买的对象.光照是影响草莓生长的关键因素,过去50年的资料显示,该村庄一年当中12个月份的月光照量X(小时)的频率分布直方图如下图所示(注:月光照量指的是当月阳光照射总时长).
(1)求月光照量(小时)的平均数和中位数;
(2)现准备按照月光照量来分层抽样,抽取一年中的4个月份来比较草莓的生长状况,问:应在月光照量,,的区间内各抽取多少个月份?
(3)假设每年中最热的5,6,7,8,9,10月的月光照量是大于等于240小时,且6,7,8月的月光照量是大于等于320小时,那么,从该村庄2018年的5,6,7,8,9,10这6个月份之中随机抽取2个月份的月光照量进行调查,求抽取到的2个月份的月光照量(小时)都不低于320的概率.
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【题目】同学们有没有读过莎士比亚的名剧《威尼斯商人》?数学家斯摩林在剧中增加了一个情节:安东尼奥到鲍西娅家向她求婚,鲍西娅拿出一金、一银、一铝三个盒子,说:“每只盒子上写了一句话,但只有一句是真的.谁能猜中我的肖象在哪只盒子中,才能做我的丈夫”.如果你是聪明、政治的安东尼奥,请问肖象在哪个盒子内?(请从金盒、银盒、铝盒中选择一个填在横线上)________.
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【题目】如图,已知多面体ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.
(Ⅰ)证明:AB1⊥平面A1B1C1;
(Ⅱ)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.
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【题目】如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知底面ABCD的边长AB=3,侧棱AA1=2,E是棱CC1的中点,点F满足 =2.
(1)求异面直线FE和DB1所成角的余弦值;
(2)记二面角E-B1F-A的大小为θ,求|cosθ|.
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【题目】如图,已知矩形ABCD所在平面垂直直角梯形ABPE所在的平面于直线AB,且AB=BP=2,AD=AE=1,AE⊥AB,且AE∥BP.
(1)求平面PCD与平面ABPE所成的二面角的余弦值;
(2)在线段PD上是否存在一点N,使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于?若存在,试确定点N的位置;若不存在,请说明理由.
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【题目】三棱柱中,为的中点,点在侧棱上,平面
(1) 证明:是的中点;
(2) 设,四边形为边长为4正方形,四边形为矩形,且异面直线与所成的角为,求该三棱柱的体积.
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