【题目】如图,已知多面体ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.
(Ⅰ)证明:AB1⊥平面A1B1C1;
(Ⅱ)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析
(Ⅱ)
【解析】分析:方法一:(Ⅰ)通过计算,根据勾股定理得,再根据线面垂直的判定定理得结论,(Ⅱ)找出直线AC1与平面ABB1所成的角,再在直角三角形中求解.
方法二:(Ⅰ)根据条件建立空间直角坐标系,写出各点的坐标,根据向量之积为0得出,再根据线面垂直的判定定理得结论,(Ⅱ)根据方程组解出平面
的一个法向量,然后利用
与平面
法向量的夹角的余弦公式及线面角与向量夹角的互余关系求解.
详解:方法一:
(Ⅰ)由得
,
所以.
故.
由,
得
,
由得
,
由,得
,所以
,故
.
因此平面
.
(Ⅱ)如图,过点作
,交直线
于点
,连结
.
由平面
得平面
平面
,
由得
平面
,
所以是
与平面
所成的角.学科.网
由得
,
所以,故
.
因此,直线与平面
所成的角的正弦值是
.
方法二:
(Ⅰ)如图,以AC的中点O为原点,分别以射线OB,OC为x,y轴的正半轴,建立空间直角坐标系O-xyz.
由题意知各点坐标如下:
因此
由得
.
由得
.
所以平面
.
(Ⅱ)设直线与平面
所成的角为
.
由(Ⅰ)可知
设平面的法向量
.
由即
可取
.
所以.
因此,直线与平面
所成的角的正弦值是
.
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【题目】已知,
,圆
,一动圆在
轴右侧与
轴相切,同时与圆
相外切,此动圆的圆心轨迹为曲线C,曲线E是以
,
为焦点的椭圆。
(1)求曲线C的方程;
(2)设曲线C与曲线E相交于第一象限点P,且,求曲线E的标准方程;
(3)在(1)、(2)的条件下,直线与椭圆E相交于A,B两点,若AB的中点M在曲线C上,求直线
的斜率
的取值范围。
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【题目】某中学的甲、乙、丙三名同学参加高校自主招生考试,每位同学彼此独立的从四所高校中选2所.
(1)求甲、乙、丙三名同学都选高校的概率;
(2)若甲必选,记
为甲、乙、丙三名同学中选
校的人数,求随机变量
的分布列及数学期望.
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【题目】图1是由矩形和菱形
组成的一个平面图形,其中
,
,将其沿
折起使得
与
重合,连结
,如图2.
(1)证明图2中的四点共面,且平面
平面
;
(2)求图2中的四边形的面积.
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【题目】如图所示,在直三棱柱中,
,
平面
,D为AC的中点.
(1)求证:平面
;
(2)求证:平面
;
(3)设E是上一点,试确定E的位置使平面
平面BDE,并说明理由.
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【题目】已知正方形ABCD的边长为7,点M在AB上,点N在BC上,且AM=BN=3,现有一束光线从点M射向点N,光线每次碰到正方形的边时反射,则这束光线从第一次回到原点M时所走过的路程为( )
A. B. 60 C.
D. 70
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