Question

【题目】已知，，圆，一动圆在轴右侧与轴相切，同时与圆相外切，此动圆的圆心轨迹为曲线C，曲线E是以，为焦点的椭圆。

（1）求曲线C的方程；

（2）设曲线C与曲线E相交于第一象限点P，且，求曲线E的标准方程；

（3）在（1）、（2）的条件下，直线与椭圆E相交于A，B两点，若AB的中点M在曲线C上，求直线的斜率的取值范围。

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

试题（1）设动圆圆心的坐标为（x，y）（x＞0），由动圆在y轴右侧与y轴相切，同时与圆F2相外切，知|CF2|-x=1，由此能求出曲线C的方程．

（2）依题意，c=1，|PF1|=，得xp=，由此能求出曲线E的标准方程．

（3）设直线l与椭圆E交点A（x1，y1），B（x2，y2），A，B的中点M的坐标为（x0，y0），将A，B的坐标代入椭圆方程中，得3（x1-x2）（x1+x2）+4（y1-y2）（y1+y2）=0，由此能够求出直线l的斜率k的取值范围

解：（1）设动圆圆心的坐标为（x，y）（x＞0）

因为动圆在y轴右侧与y轴相切，同时与圆F2相外切，

所以|CF2|-x=1，…（1分）

∴(x-1)2+y2=x+1化简整理得y2=4x，曲线C的方程为y2=4x（x＞0）；…（3分）（2）依题意，c=1，|PF1|=，得xp=，…（4分）∴|PF2|=，又由椭圆定义得2a=|PF1|+|PF2|=4，a=2．…（5分）∴b2=a2-c2=3，所以曲线E的标准方程为

=1．…（6分）（3）设直线l与椭圆E交点A（x1，y1），B（x2，y2），A，B的中点M的坐标为（x0，y0），将A，B的坐标代入椭圆方程中，得3x12+4y12-12=0，3x22+4y22-12=0两式相减得3（x1-x2）（x1+x2）+4（y1-y2）（y1+y2）=0，∴=-，…（7分）∵y02=4x0，∴直线AB的斜率k==-y0，…（8分）由（2）知xp=，∴yp2=4xp=，∴yp=±由题设-＜y0＜ (y0≠0)，∴-＜-y0＜，…（10分）即-＜k＜（k≠0）．…（12分）