【题目】已知函数(
为自然对数的底数)在点
的切线方程为
.
(1)求实数的值;
(2)若关于的不等式
对于任意
恒成立,求整数
的最大值.
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【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴的建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的普通方程;
(2)若点与点
分别为曲线
动点,求
的最小值,并求此时的
点坐标.
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【题目】已知分别为椭圆
的左、右焦点,
为该椭圆的一条垂直于
轴的动弦,直线
与
轴交于点
,直线
与直线
的交点为
.
(1)证明:点恒在椭圆
上.
(2)设直线与椭圆
只有一个公共点
,直线
与直线
相交于点
,在平面内是否存在定点
,使得
恒成立?若存在,求出该点坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】已知圆,线段
、
都是圆
的弦,且
与
垂直且相交于坐标原点
,如图所示,设△
的面积为
,设△
的面积为
.
(1)设点的横坐标为
,用
表示
;
(2)求证:为定值;
(3)用、
、
、
表示出
,试研究
是否有最小值,如果有,求出最小值,并写出此时直线
的方程;若没有最小值,请说明理由.
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【题目】某地拟建造一座大型体育馆,其设计方案侧面的外轮廓如图所示,曲线是以点
为圆心的圆的一部分,其中
;曲线
是抛物线
的一部分;
,且
恰好等于圆
的半径.假定拟建体育馆的高
(单位:米,下同).
(1)若,
,求
、
的长度;
(2)若要求体育馆侧面的最大宽度不超过
米,求
的取值范围;
(3)若,求
的最大值.
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【题目】已知三棱锥的棱长均为6,其内有
个小球,球
与三棱锥
的四个面都相切,球
与三棱锥
的三个面和球
都相切,如此类推,…,球
与三棱锥
的三个面和球
都相切(
,且
),则球
的体积等于__________,球
的表面积等于__________.
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【题目】已知正方体,过对角线
作平面
交棱
于点E,交棱
于点F,则:
①四边形一定是平行四边形;
②四边形有可能为正方形;
③四边形在底面
内的投影一定是正方形;
④平面有可能垂直于平面
.
其中所有正确结论的序号为( )
A.①②B.②③④C.①④D.①③④
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【题目】如图,在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中,A1E=CF=1.
(1)求异面直线AC1与D1E所成角的余弦值;
(2)求直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值.
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【题目】我国古代数学家祖暅提出原理:“幂势既同,则积不容异”.其中“幂”是截面积,“势”是几何体的高.原理的意思是:夹在两个平行平面间的两个几何体,被任一平行于这两个平行平面的平面所截,若所截的两个截面的面积恒相等,则这两个几何体的体积相等.如图(1),函数的图象与x轴围成一个封闭区域A(阴影部分),将区域A(阴影部分)沿z轴的正方向上移6个单位,得到一几何体.现有一个与之等高的底面为椭圆的柱体如图(2)所示,其底面积与区域A(阴影部分)的面积相等,则此柱体的体积为______.
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