【题目】某地拟建造一座大型体育馆,其设计方案侧面的外轮廓如图所示,曲线是以点
为圆心的圆的一部分,其中
;曲线
是抛物线
的一部分;
,且
恰好等于圆
的半径.假定拟建体育馆的高
(单位:米,下同).
(1)若,
,求
、
的长度;
(2)若要求体育馆侧面的最大宽度不超过
米,求
的取值范围;
(3)若,求
的最大值.
【答案】(1),
;(2)
;(3)
米.
【解析】
(1)由可求出
的长,在抛物线方程中,令
,可求出
的长,在圆
的方程中,令
,可求出
的长,相加即可得出
的长;
(2)问题转化为恒成立,根据基本不等式解出即可;
(3)先求得,在圆
的方程中,令
,可得出
,从而得出
,令
,将问题转化为求函数
在
上的最大值.
法一:令,
,利用三角函数知识可求出
的最大值;
法二:令,
,将问题转化为已知
,求
的最大值,利用数形结合思想可求出
的最大值.
(1)因为圆的半径为
,所以
米,
在中令
,得
在圆中,令
得
,
所以米;
(2)由圆的半径为
,得
在中,令
,得
,
由题意知对
恒成立,所以
恒成立.
当时,即当
时,
取得最小值
,故
,解得
.
因此,实数的取值范围是
;
(3)当时,
又圆的方程为
,令
,得
,
所以,从而
下求的最大值.
方法一:令,
,
则,
其中是锐角,且
,从而当
时,
取得最大值
;
方法二:令,
,则题意相当于:已知
,求
的最大值.
当直线与圆弧
相切时,直线
在
轴上的截距最大,此时
取最大值,且有
,
,解得
,
因此,的最大值为
答:当米时,
的最大值为
米.
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【题目】“不忘初心、牢记使命”主题教育活动正在全国开展,某区政府为统计全区党员干部一周参与主题教育活动的时间,从全区的党员干部中随机抽取n名,获得了他们一周参加主题教育活动的时间(单位:时)的频率分布直方图,如图所示,已知参加主题教育活动的时间在内的人数为92.
(1)估计这些党员干部一周参与主题教育活动的时间的平均值;
(2)用频率估计概率,如果计划对全区一周参与主题教育活动的时间在内的党员干部给予奖励,且参与时间在
,
内的分别获二等奖和一等奖,通过分层抽样方法从这些获奖人中随机抽取5人,再从这5人中任意选取3人,求3人均获二等奖的概率.
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【题目】现代足球运动是世上开展得最广泛、影响最大的运动项目,有人称它为“世界第一运动”.早在2000多年前的春秋战国时代,就有了一种球类游戏“蹴鞠”,后来经过阿拉伯人传到欧洲,发展成现代足球.1863年10月26日,英国人在伦敦成立了世界上第一个足球运动组织——英国足球协会,并统一了足球规则.人们称这一天是现代足球的诞生日.如图所示,足球表面是由若干黑色正五边形和白色正六边形皮围成的,我们把这些正五边形和正六边形都称为足球的面,任何相邻两个面的公共边叫做足球的棱.已知足球表面中的正六边形的面为20个,则该足球表面中的正五边形的面为______个,该足球表面的棱为______条.
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【题目】如图,四棱锥S=ABCD的底面是正方形,SD⊥平面ABCD,SD=AD=a,点E是SD上的点,且DE=a(0<
≦1). w.w.w..c.o.m
(Ⅰ)求证:对任意的(0、1),都有AC⊥BE:
(Ⅱ)若二面角C-AE-D的大小为600C,求的值。
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【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点
为极点,以
轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
.
(1)求的普通方程和
的直角坐标方程;
(2)直线与
轴的交点为
,经过点
的直线
与曲线
交于
两点,若
,求直线
的倾斜角.
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【题目】如图,已知多面体ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.
(Ⅰ)证明:AB1⊥平面A1B1C1;
(Ⅱ)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.
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【题目】如图,多面体是正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)
沿平面
切除一部分所得,其中平面
为原正三棱柱的底面,
,点D为
的中点.
(1)求证:平面
;
(2)求二面角的平面角的余弦值.
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