【题目】如图,多面体是正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)沿平面切除一部分所得,其中平面为原正三棱柱的底面,,点D为的中点.
(1)求证:平面;
(2)求二面角的平面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)设与交于点E,连接、,由题意可得四边形是正方形,且,再由点D为的中点,平行且等于,求得CD,同理求得,得,可得,由线面垂直的判定可得;
(2)取BC的中点O,连接AO,可得AO⊥BC,由正棱柱的性质可得AO⊥平面,以O为坐标原点,向量、、分别为x、y,z轴建立空间直角坐标系,分别求出平面CBD与平面的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得二面角的平面角的余弦值.
(1)设与交于点E,连接、.
∵多面体是正三棱柱沿平面切除部分所得,,
∴四边形是正方形,且.
∵点D为的中点,平行且等于,
∴.
同理,
∴.
∵E为的中点,
∴.
又∵,,
∴平面;
(2)取的中点O,连接.
∵为正三角形,.
由正棱柱的性质可得,平面平面,
且平面平面,
∴平面.
以点O为原点,向量、、分别为x、y,z轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.
则,,,,
,,.
设平面的一个法向量为,
则,
令,得,,即.
由(1)可知,平面的一个法向量为.
,
又∵二面角的平面角为锐角,
∴二面角的平面角的余弦值为.
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【题目】某地拟建造一座大型体育馆,其设计方案侧面的外轮廓如图所示,曲线是以点为圆心的圆的一部分,其中;曲线是抛物线的一部分;,且恰好等于圆的半径.假定拟建体育馆的高(单位:米,下同).
(1)若,,求、的长度;
(2)若要求体育馆侧面的最大宽度不超过米,求的取值范围;
(3)若,求的最大值.
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【题目】如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB⊥AC,AB=2,AC=4,AA1=2,=λ.
(1)若λ=1,求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值;
(2)若二面角B1- A1C1-D的大小为60°,求实数λ的值.
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【题目】某品牌奶茶公司计划在A地开设若干个连锁加盟店,经调查研究,加盟店的个数x与平均每个店的月营业额y(万元)具有如下表所示的数据关系:
x | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
y | 20.9 | 20.2 | 19 | 17.8 | 17.1 |
(1)求y关于x的线性回归方程;
(2)根据(1)中的结果分析,为了保证平均每个加盟店的月营业额不少于14.6万元,则A地开设加盟店的个数不能超过几个?
参考公式:线性回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
,
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【题目】已知为坐标原点,椭圆:的焦距为,直线截圆:与椭圆所得的弦长之比为,椭圆与轴正半轴的交点分别为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设点(且)为椭圆上一点,点关于轴的对称点为,直线,分别交轴于点,.试判断是否为定值?若是求出该定值,若不是定值,请说明理由.
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【题目】我国古代数学家祖暅提出原理:“幂势既同,则积不容异”.其中“幂”是截面积,“势”是几何体的高.原理的意思是:夹在两个平行平面间的两个几何体,被任一平行于这两个平行平面的平面所截,若所截的两个截面的面积恒相等,则这两个几何体的体积相等.如图(1),函数的图象与x轴围成一个封闭区域A(阴影部分),将区域A(阴影部分)沿z轴的正方向上移6个单位,得到一几何体.现有一个与之等高的底面为椭圆的柱体如图(2)所示,其底面积与区域A(阴影部分)的面积相等,则此柱体的体积为______.
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【题目】在三棱锥中,BO、AO、CO所在直线两两垂直,且AO=CO,∠BAO=60°,E是AC的中点,三棱锥的体积为
(1)求三棱锥的高;
(2)在线段AB上取一点D,当D在什么位置时,和的夹角大小为
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【题目】华为董事会决定投资开发新款软件,估计能获得万元到万元的投资收益,讨论了一个对课题组的奖励方案:奖金(单位:万元)随投资收益(单位:万元)的增加而增加,且奖金不超过万元,同时奖金不超过投资收益的.
(1)请分析函数是否符合华为要求的奖励函数模型,并说明原因;
(2)若华为公司采用模型函数作为奖励函数模型,试确定正整数的取值集合.
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