【题目】已知椭圆C:(
)的两焦点与短轴两端点围成面积为12的正方形.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)我们称圆心在椭圆上运动,半径为的圆是椭圆的“卫星圆”.过原点O作椭圆C的“卫星圆”的两条切线,分别交椭圆C于A、B两点,若直线
、
的斜率为
、
,当
时,求此时“卫星圆”的个数.
【答案】(1);(2)8个.
【解析】
(1)由条件可得,解出来即可;
(2) 设“卫星圆”的圆心为,由定义可得“卫星圆”的标准方程为
,求其圆心到直线
,直线
的距离,整理可转化为
、
是方程
的两个不相等的实数根,则
,再加上
,
,解方程即可.
(1)∵椭圆C的两焦点与短轴两端点围成面积为12的正方形,
∴由椭圆的定义和正方形的性质,可得,
解得.
又
∴椭圆C的标准方程为.
(2)设“卫星圆”的圆心为.
由“卫星圆”的定义,可得“卫星圆”的半径为.
∴“卫星圆”的标准方程为.
∵直线:
与“卫星圆”相切,
则由点到直线的距离公式可,
化简得.
同理可得.
∴、
是方程
的两个不相等的实数根,
∴,由
,得
,
将代入得
,
.
又∵“卫星圆”的圆心在椭圆C上,
∴代入椭圆方程中,可得
.
解得,
.
当时,
;
当时,
,
∴满足条件的点共8个,
∴这样“卫星圆”存在8个.
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【题目】下列命题:其中正确命题数是( )
A.在线性回归模型中,相关系数表示解释变量
对于预报变量
变化的贡献率,
越接近于1,表示回归效果越好
B.两个变量相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1
C.在回归直线方程中,当解释变量
每增加一个单位时,预报变量
平均减少0.5个单位
D.对分类变量与
,它们的随机变量
的观测值来说,观测值越小,“
与
有关系”的把握程度越大
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【题目】根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立.
(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率;
(2)X表示该地的100位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数,求X的均值和方差.
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【题目】瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作,
中,
,点
,点
,且其“欧拉线”与圆
相切,则该圆的直径为( )
A.1B.C.2D.
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【题目】某农场更新技术培育了一批新型的“盆栽果树”,这种“盆栽果树”将一改陆地栽植果树只在秋季结果的特性,能够一年四季都有花、四季都结果.现为了了解果树的结果情况,从该批果树中随机抽取了容量为120的样本,测量这些果树的高度(单位:厘米),经统计将所有数据分组后得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求;
(2)求抽取的盆栽果树的平均高度;
(3)已知所抽取的样本来自两个实验基地,规定高度不低于40厘米的果树为“优品盆栽”,请将图中
列联表补充完整,并判断是否有
的把握认为“优品盆栽”与
两个实验基地有关?
优品 | 非优品 | 合计 | |
| 60 | ||
| 20 | ||
合计 |
附:
.
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【题目】有2名男生、3名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法总数.
(1)全体站成一排,甲不站排头也不站排尾;
(2)全体站成一排,女生必须站在一起;
(3)全体站成一排,男生互不相邻.
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【题目】已知函数,
(1)当,求函数
的值域;
(2)设函数,问:当
取何值时,函数
在
上为单调函数;
(3)设函数的零点为
,试讨论当
时,
是否存在,若存在请求出
的取值范围.(
)
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