Question

【题目】已知椭圆 的离心率为，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为.

(I)求椭圆的方程;

(II)设与圆相切的直线交椭圆于,两点(为坐标原点)，的最大值.

Answer 1

【答案】I. ；Ⅱ.2

【解析】

I:根据离心率得到，由三角形面积公式得到，进而求出参数值，和方程；Ⅱ：当ABx轴时，，当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为，根据直线和圆的位置关系得到，由=，借助于韦达定理表示求解即可.

I.由题设：

两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为，

解得

∴椭圆C的方程为

Ⅱ.设

1.当ABx轴时，

2.当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为

由已知，得

设三角形OAB的高为h即圆的半径,直线和圆的切点为M点，根据几何关系得到：=，

把代入椭圆方程消去y，

整理得,

有

得

当且仅当，即时等号成立.

当时，

综上所述