【题目】如图已知椭圆,
是长轴的一个端点,弦
过椭圆的中心
,且
,
.
(Ⅰ)求椭圆的方程:
(Ⅱ)设为椭圆上异于
且不重合的两点,且
的平分线总是垂直于
轴,是否存在实数
,使得
,若存在,请求出
的最大值,若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)易知根据条件确定
形状,即得C坐标,代入椭圆方程可得
,(Ⅱ)即先判断
是否成立,设
的直线方程,与椭圆联立方程组解得
坐标,根据
、
关系可得
坐标,利用斜率坐标公式即得
斜率,进而判断
成立,然后根据两点间距离公式计算
长度最大值,即可得
的最大值.
(Ⅰ)∵, ∴
又,即
,2
∴是等腰直角三角形
∵, ∴
因为点在椭圆上,∴
∴
∴所求椭圆方程为
(Ⅱ)对于椭圆上两点、
,∵
的平分线总是垂直于
轴
∴与
所在直线关于
对称,设
且
,则
,
则的直线方程
①
的直线方
②
将①代入得
③
∵在椭圆上,∴
是方程③的一个根,∴
以替换
,得到
.
因为,所以
∴
∴
,∴存在实数
,使得
当时即
时取等号,
又,
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【题目】已知直线与圆心为坐标原点的圆
相切.
(1)求圆的方程;
(2)过点的直线与圆
交于
两点,若弦长
,求直线
的斜率的值;
(3)过点作两条相异直线分别与圆
相交于
,且直线
和直线
的倾斜角互补,试着判断向量
和
是否共线?请说明理由.
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【题目】如图,已知三棱锥中,平面
平面ABC,
,
,BD=3,AD=1,AC=BC,M为线段AB的中点.
(Ⅰ)求证:平面ACD;
(Ⅱ)求异面直线MD与BC所成角的余弦值;
(Ⅲ)求直线MD与平面ACD所成角的余弦值.
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【题目】设f(x)=x3+ax2+bx+1的导数f′(x)满足f′(1)=2a,f′(2)=-b,其中常数a,b∈R.
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)设g(x)=f′(x)e-x,求函数g(x)的极值.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面
为直角梯形,
,
,平面
底面
,
为
的中点,
是棱
上的点,
,
,
.
(1)求证:平面平面
;
(2)若为棱
的中点,求异面直线
与
所成角的余弦值;
(3)若二面角大小为
,求
的长.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设与圆O:相切的直线l交椭圆C于A,B两点(O为坐标原点),求△AOB面积的最大值。
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,点E,F分别是BC,PC的中点,用向量方法解决以下问题:
(1)求异面直线AE与PD所成角的大小;
(2)若AB=AP,求二面角E﹣AF﹣C的余弦值的大小.
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【题目】某市有一特色酒店由一些完全相同的帐篷构成.每座帐篷的体积为立方米,且分上下两层,其中上层是半径为
(单位:米)的半球体,下层是半径为
米,高为
米的圆柱体(如图).经测算,上层半球体部分每平方米建造费用为2千元,下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元,设每座帐篷的建造费用为
千元.
参考公式:球的体积,球的表面积
,其中
为球的半径.
(1)求关于
的函数解析式,并指出该函数的定义域;
(2)当半径为何值时,每座帐篷的建造费用最小,并求出最小值.
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