【题目】已知直线与抛物线
相交于
两个不同点,点
是抛物线
在点
处的切线的交点。
(1)若直线经过抛物线
的焦点
,求证:
;
(2)若,且直线
经过点
,求
的最小值。
【答案】(1)见证明;(2)1
【解析】
(1)求得抛物线焦点的坐标,当直线的斜率
时,设出直线方程,联立直线
的方程和抛物线方程,写出韦达定理.求得过
点切线的方程,联立两条切线方程求得交点
的坐标,计算
,由此证得
.当直线
的斜率
时,根据直线
的方程和
点的坐标证得
.从而证得
成立.(2)根据题意求得抛物线的方程,当直线
的斜率
时,设出直线
的方程,代入抛物线方程,写出韦达定理,由弦长公式求得
,求得
点坐标后利用点到直线的距离公式求得三角形的高,由此求得三角形
面积的表达式,利用配方法求得面积的最小值.当直线
的斜率
时,求得三角形
的面积为
.综上,
的最小值为
.
解:(1)由题意可得,
②当时,设直线
,点
的坐标分别为
,
由得
,∴
,
过点的切线方程为
,即
,
过点的切线方程为
,
由得
,∴
,
∵,∴
;
②当时,则直线
,∴
;
(2)由题意可得,
①当时,设直线
,点
的坐标分别为
,
由,得
,∴
,
∴,
由(1)可得过点的切线方程分别为
,
由得
,∴
,
∴到直线
的距离
,
∴,
当时,
取最小值1;
②当时,则直线
,∴
,
综上,的最小值为1。
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【题目】在四棱锥PABCD中,AD∥BC,平面PAC⊥平面ABCD,AB=AD=DC=1,
∠ABC=∠DCB=60,E是PC上一点.
(Ⅰ)证明:平面EAB⊥平面PAC;
(Ⅱ)若△PAC是正三角形,且E是PC中点,求三棱锥AEBC的体积.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,短轴长为
.
(1)求的方程;
(2)如图,经过椭圆左顶点且斜率为
的直线
与
交于
两点,交
轴于点
,点
为线段
的中点,若点
关于
轴的对称点为
,过点
作
(
为坐标原点)垂直的直线交直线
于点
,且
面积为
,求
的值.
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【题目】“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一,他在《九章算术注》中提出割圆术,并作为计算圆的周长,面积已经圆周率的基础,刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形,并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值,这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图,当分割到圆内接正六边形时,某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点,计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269,那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为(参考数据:)
A. 3.1419B. 3.1417C. 3.1415D. 3.1413
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【题目】某工厂预购软件服务,有如下两种方案:
方案一:软件服务公司每日收取工厂60元,对于提供的软件服务每次10元;
方案二:软件服务公司每日收取工厂200元,若每日软件服务不超过15次,不另外收费,若超过15次,超过部分的软件服务每次收费标准为20元.
(1)设日收费为元,每天软件服务的次数为
,试写出两种方案中
与
的函数关系式;
(2)该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计,得到如图所示的条形图,依据该统计数据,把频率视为概率,从节约成本的角度考虑,从两个方案中选择一个,哪个方案更合适?请说明理由.
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【题目】在一栋6层楼房里,每个房间的门牌号均为三位数,首位代表楼层号,后两位代表房间号,如218表示的是第2层第18号房间,现已知有宝箱藏在如下图18个房间里的某一间,其中甲同学只知道楼层号,乙同学只知道房间号,不知道楼层号,现有以下甲乙两人的一段对话:
甲同学说:我不知道,你肯定也不知道;
乙同学说:本来我也不知道,但是现在我知道了;
甲同学说:我也知道了.
根据上述对话,假设甲乙都能做出正确的推断,则藏有宝箱的房间的门牌号是______.
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【题目】已知椭圆C: (a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(–1,
),P4(1,
)中恰有三点在椭圆C上.
(1)求C的方程;
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1,证明:l过定点.
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【题目】如图已知椭圆,
是长轴的一个端点,弦
过椭圆的中心
,且
,
.
(Ⅰ)求椭圆的方程:
(Ⅱ)设为椭圆上异于
且不重合的两点,且
的平分线总是垂直于
轴,是否存在实数
,使得
,若存在,请求出
的最大值,若不存在,请说明理由.
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【题目】如图所示,在四棱锥中,
是边长为
的正三角形,点
为正方形
的中心,
为线段
的中点,
.则下列结论正确的是( )
A.平面平面
B.直线与
是异面直线
C.线段与
的长度相等
D.直线与平面
所成的角的余弦值为
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