Question

【题目】在四棱锥PABCD中，AD∥BC，平面PAC⊥平面ABCD，AB=AD=DC=1，

∠ABC=∠DCB=60，E是PC上一点.

（Ⅰ）证明：平面EAB⊥平面PAC；

（Ⅱ）若△PAC是正三角形，且E是PC中点，求三棱锥AEBC的体积.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) .

【解析】试题分析：

(Ⅰ)在等腰梯形ABCD中，由条件得AB⊥AC，又平面PAC⊥平面ABCD，故得AB⊥平面PAC，从而可得平面EAB⊥平面PAC．(Ⅱ)根据求解，由(Ⅰ)得AB⊥平面PAC，故AB为三棱锥BEAC的高，在正△PAC中可得S△EAC＝S△PAC，根据体积公式可求得三棱锥的体积．

试题解析：

(Ⅰ)证明：依题意得四边形ABCD是底角为60的等腰梯形，

∴∠BAD=∠ADC=120．

∵ AD=DC，

∴∠DAC=∠DCA=30，

∴∠BAC=∠BAD∠DAC=12030=90，

∴AB⊥AC．

∵平面PAC⊥平面ABCD, 平面PAC∩平面ABCD=AC，

∴AB⊥平面PAC．

又AB平面EAB，

∴平面EAB⊥平面PAC．

(Ⅱ)由(Ⅰ)及已知得，在Rt△ABC中，∠ABC=60，AB=1，

∴AC= ABtan60=，且BC=2AB=2．

又AB⊥平面PAC，

∴AB是三棱锥BEAC的高．

∵E是PC的中点，

∴S△EAC＝S△PAC＝.

∴三棱锥AEBC的体积为．