【题目】已知函数
(1)当时,求函数
的单调递增区间;
(2)在区间内至少存在一个实数
,使得
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间是和
;(2)
.
【解析】试题分析:(1)先确定函数,然后对函数进行求导,利用导数的正负建立不等式,求得函数的单调性与单调区间;(2)先对函数进行求导,然后通过分类讨论,确定函数的单调性,求得函数的最小值,利用最小值小于0,建立不等式,求解不等式,得到实数的取值范围.
试题解析:(1)当时,
,由
,得
或
,
所以函数在
与
上为增函数,
即函数的单调递增区间是
和
.
(2) ,
当,即
时,
在[1,2]恒成立,
在[1,2]上为增函数,故
,
所以,这与
矛盾.
当,即
时,若
,则
;
若,则
所以当
时,
取得最小值,
因此,即
,可得
,
这与矛盾.
当,即
时,
在[1,2]恒成立,
在[1,2]上为减函数,
所以,
所以,解得
,满足
.
综上所述,实数的取值范围为
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【题目】平面α外有两条直线m和n,如果m和n在平面α内的投影分别是m1和n1,给出下列四个命题:①m1⊥n1m⊥n;②m⊥nm1⊥n1;③m1与n1相交m与n相交或重合;④m1与n1平行m与n平行或重合.其中不正确的命题个数是( )
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
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【题目】如图,AC是圆O的直径,点B在圆O上,∠BAC=30°,BM⊥AC于点M,EA⊥平面ABC,FC∥EA,AC=4,EA=3,FC=1.
(1)证明:EM⊥BF;
(2)求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.
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【题目】对于集合,定义了一种运算“
”,使得集合
中的元素间满足条件:如果存在元素
,使得对任意
,都有
,则称元素
是集合
对运算“
”的单位元素.例如:
,运算“
”为普通乘法;存在
,使得对任意
,都有
,所以元素
是集合
对普通乘法的单位元素.
下面给出三个集合及相应的运算“”:
①,运算“
”为普通减法;
②{
表示
阶矩阵,
},运算“
”为矩阵加法;
③(其中
是任意非空集合),运算“
”为求两个集合的交集.
其中对运算“”有单位元素的集合序号为( )
A. ①②; B. ①③; C. ①②③; D. ②③.
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【题目】如图, 为圆柱
的母线,
是底面圆
的直径,
是
的中点.
(Ⅰ)问: 上是否存在点
使得
平面
?请说明理由;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若平面
,假设这个圆柱是一个大容器,有条体积可以忽略不计的小鱼能在容器的任意地方游弋,如果小鱼游到四棱锥
外会有被捕的危险,求小鱼被捕的概率.
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【题目】设函数,
(
).
(1)当时,若函数
与
的图象在
处有相同的切线,求
的值;
(2)当时,若对任意
和任意
,总存在不相等的正实数
,使得
,求
的最小值;
(3)当时,设函数
与
的图象交于
两点.求证:
.
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【题目】在四棱锥PABCD中,AD∥BC,平面PAC⊥平面ABCD,AB=AD=DC=1,
∠ABC=∠DCB=60,E是PC上一点.
(Ⅰ)证明:平面EAB⊥平面PAC;
(Ⅱ)若△PAC是正三角形,且E是PC中点,求三棱锥AEBC的体积.
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【题目】某公司为了解用户对其产品的满意度,从A、B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:
A地区: | 62 | 73 | 81 | 92 | 95 | 85 | 74 | 64 | 53 | 76 |
78 | 86 | 95 | 66 | 97 | 78 | 88 | 82 | 76 | 89 | |
B地区: | 73 | 83 | 62 | 51 | 91 | 46 | 53 | 73 | 64 | 82 |
93 | 48 | 95 | 81 | 74 | 56 | 54 | 76 | 65 | 79 |
(Ⅰ)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度的平均值及分散程度(不要求算出具体值,给出结论即可):
(Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:
满意度评分 | 低于70分 | 70分到89分 | 不低于90分 |
满意度等级 | 不满意 | 满意 | 非常满意 |
记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”,假设两地区用户的评价结果相互独立,根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率。
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