Question

【题目】如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC＝30°，BM⊥AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC＝4，EA＝3，FC＝1.

(1)证明：EM⊥BF；

(2)求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）要证线线垂直，一般是用线面垂直的性质定理，先证线面垂直，本题从图中看，想象能不能证明，为此要证，对，因为是在平面上的射影，且，从而有，对，可通过求出的三边长，由勾股定理得结论；当然结合第（2）小题求二面角，我们还可以以A为坐标原点，过点A垂直于AC的直线为x轴，AC、AE所在的直线分别为y、z轴建立空间直角坐标系．通过向量法证明线线垂直，（2）通过二面角的两个面的法向量来求得二面角．

试题解析：（1）证法一：，，又∵BM⊥AC，

①

而，，

即

∴②③

由①②③得，∴EM⊥BF

证法二：在Rt△ABC中，AC＝4，∠BAC＝30°

∴AB＝2，BC＝2，又BM⊥AC

则AM＝3，BM＝．

如图，以A为坐标原点，过点A垂直于AC的直线为x轴，AC、AE所在的直线分别为y、z轴

建立空间直角坐标系．

由已知条件得A（0，0，0），M（0，3，0），E（0，0，3），B（，3，0），F（0，4，1），

∴＝（0，－3，3），＝（－，1，1）．

由·＝（0，－3，3）·（－，1，1）＝0，

得⊥，∴EM⊥BF．

（2）解：由（1）知＝（－，－3，3），＝（－，1，1）．

设平面BEF的法向量为n＝（x，y，z），

由n·＝0，n·＝0，得

令x＝得y＝1，z＝2，∴n＝（，1，2），

由已知EA⊥平面ABC，

所以取面ABC的法向量为＝（0，0，3），

设平面BEF与平面ABC所成的锐二面角为θ，

则，

平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为．