Question

【题目】在如图所示的五面体中， ， ， ，四边形为正方形，平面平面．

（1）证明：在线段上存在一点，使得平面；

（2）求的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)2.

【解析】试题分析：（1）取的中点，连接，由正方形的性质可证明四边形为平行四边形，故，由线面平行的判定定理可得平面，点就是符合条件的点；（2）由平面平面及可得平面，可得，在中，由余弦定理，得，由（1）得，根据勾股定理可得．

试题解析：（1）取的中点，连接；

因为， ，

，所以，又四边形是正方形，所以， ，

故四边形为平行四边形，故，

因为平面， 平面，

所以平面．

（2）因为平面平面，四边形为正方形，所以，

所以平面．

在中，因为，故，又，

所以由余弦定理，得，由（1）得

故．

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、面面垂直的性质定理，属于难题. 证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.