【题目】如图, 为圆
的直径,点
,
在圆
上,
,矩形
和圆
所在的平面互相垂直,已知
,
.
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)当的长为何值时,二面角
的大小为
.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1)先根据面面垂直性质定理得平面
,即得
,再根据圆性质得
,根据线面垂直判定定理得
平面
,,最后根据面面垂直判定定理得结论(2)先根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,根据方程组求各面法向量,根据向量数量积求向量夹角,最后根据向量夹角与二面角关系建立方程,求出
的长
试题解析:(Ⅰ)∵平面平面
,
平面平面
,∴
平面
,
∵平面
,∴
,
又∵为圆
的直径,∴
,∴
平面
,
∵平面
,∴平面
平面
(Ⅱ)
设中点为
,以
为坐标原点,
方向分别为
轴、
轴、
轴方向建立空间直角坐标系(如图).设
,则点
的坐标为
,则
,又
,∴
,
设平面的法向量为
,则
,即
,
令,解得
.
∴.
由(1)可知平面
,取平面
的一个法向量为
,
∴,即
,解得
,
因此,当的长为
时,平面
与平面
所成的锐二面角的大小为60°。
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【题目】已知直线的参数方程为
(
,
为参数),曲线
的极坐标方程为
.
(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,并说明曲线
的形状;
(2)若直线经过点
,求直线
被曲线
截得的线段的长.
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【题目】函数图象上不同两点
,
处切线的斜率分别是
,
,规定
(
为线段
的长度)叫做曲线
在点
与
之间的“弯曲度”,给出以下命题:
①函数图象上两点
与
的横坐标分别为1和2,则
;
②存在这样的函数,图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数;
③设点,
是抛物线
上不同的两点,则
;
④设曲线(
是自然对数的底数)上不同两点
,
,且
,若
恒成立,则实数
的取值范围是
.
其中真命题的序号为__________.(将所有真命题的序号都填上)
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【题目】某城市随机抽取一年(365天)内100天的空气质量指数(Air Pollution Index)的监测数据,结果统计如下:
大于300 | |||||||
空气质量 | 优 | 良 | 轻微污染 | 轻度污染 | 中度污染 | 中度重 污染 | 重度污染 |
天数 | 10 | 15 | 20 | 30 | 7 | 6 | 12 |
(Ⅰ)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季,其中有7天为重度污染,完成下面列联表,并判断能否有
的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关?
非重度污染 | 重度污染 | 合计 | |
供暖季 | |||
非供暖季 | |||
合计 | 100 |
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
附:
(Ⅱ)政府要治理污染,决定对某些企业生产进行管控,当在区间
时企业正常生产;当
在区间
时对企业限产
(即关闭
的产能),当
在区间
时对企业限产
,当
在300以上时对企业限产
,企业甲是被管控的企业之一,若企业甲正常生产一天可得利润2万元,若以频率当概率,不考虑其他因素:
①在这一年中随意抽取5天,求5天中企业被限产达到或超过的恰为2天的概率;
②求企业甲这一年因限产减少的利润的期望值.
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【题目】(本小题12分)如图,在海岸线一侧有一休闲游乐场,游乐场的前一部分边界为曲线段
,该曲线段是函数
,
的图像,图像的最高点为
.边界的中间部分为长
千米的直线段
,且
.游乐场的后一部分边界是以
为圆心的一段圆弧
.
(1)求曲线段的函数表达式;
(2)曲线段上的入口
距海岸线
最近距离为
千米,现准备从入口
修一条笔直的景观路到
,求景观路
长;
(3)如图,在扇形区域内建一个平行四边形休闲区
,平行四边形的一边在海岸线
上,一边在半径
上,另外一个顶点
在圆弧
上,且
,求平行四边形休闲区
面积的最大值及此时
的值.
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【题目】已知椭圆
,其焦距为2,离心率为
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆的右焦点为,
为
轴上一点,满足
,过点
作斜率不为0的直线
交椭圆于
两点,求
面积
的最大值.
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【题目】为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,…,第五组,如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为( )
A. 6 B. 8
C. 12 D. 18
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