【题目】【2018贵州遵义市高三上学期第二次联考】设抛物线的准线与
轴交于
,抛物线的焦点为
,以
为焦点,离心率
的椭圆与抛物线的一个交点为
;自
引直线交抛物线于
两个不同的点,设
.
(Ⅰ)求抛物线的方程和椭圆的方程;
(Ⅱ)若,求
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)椭圆的方程为;抛物线的方程是:
.(Ⅱ)
.
【解析】试题分析:
(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为,根据椭圆上的点及离心率可得关于
的方程组,求得
可得椭圆的方程;根据椭圆的焦点坐标可得
,进而可得抛物线方程.(Ⅱ)设出直线
的方程,与椭圆方程联立消元后根据根与系数的关系及弦长公式可得
,再根据
的范围,利用函数的有关知识求得
的范围即可.
试题解析:
(Ⅰ)设椭圆的标准方程为,
由题意得,解得
,
∴椭圆的方程为,
∴点的坐标为
,
∴,
∴抛物线的方程是.
(Ⅱ)由题意得直线的斜率存在,设其方程为
,
由消去x整理得
(*)
∵直线与抛物线交于两点,
∴.
设,
,
则①,
②.
∵,
,
∴
∴.③
由①②③消去得:
.
∴
,即
,
将代入上式得
,
∵单调递减,
∴,即
,
∴,
∴,
即的求值范围为
.
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【题目】在四棱锥PABCD中,AD∥BC,平面PAC⊥平面ABCD,AB=AD=DC=1,
∠ABC=∠DCB=60,E是PC上一点.
(Ⅰ)证明:平面EAB⊥平面PAC;
(Ⅱ)若△PAC是正三角形,且E是PC中点,求三棱锥AEBC的体积.
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【题目】某公司为了解用户对其产品的满意度,从A、B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:
A地区: | 62 | 73 | 81 | 92 | 95 | 85 | 74 | 64 | 53 | 76 |
78 | 86 | 95 | 66 | 97 | 78 | 88 | 82 | 76 | 89 | |
B地区: | 73 | 83 | 62 | 51 | 91 | 46 | 53 | 73 | 64 | 82 |
93 | 48 | 95 | 81 | 74 | 56 | 54 | 76 | 65 | 79 |
(Ⅰ)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度的平均值及分散程度(不要求算出具体值,给出结论即可):
(Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:
满意度评分 | 低于70分 | 70分到89分 | 不低于90分 |
满意度等级 | 不满意 | 满意 | 非常满意 |
记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”,假设两地区用户的评价结果相互独立,根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率。
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【题目】已知为坐标原点,抛物线
上在第一象限内的点
到焦点的距离为
,曲线
在点
处的切线交
轴于点
,直线
经过点
且垂直于
轴.
(Ⅰ)求点的坐标;
(Ⅱ)设不经过点和
的动直线
交曲线
于点
和
,交
于点
,若直线
,
,
的斜率依次成等差数列,试问:
是否过定点?请说明理由.
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【题目】已知点在椭圆
上,且椭圆的离心率为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若为椭圆
的右顶点,点
是椭圆
上不同的两点(均异于
)且满足直线
与
斜率之积为
.试判断直线
是否过定点,若是,求出定点坐标,若不是,说明理由.
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【题目】已知点为抛物线
的焦点,点
为点
关于原点的对称点,点
在抛物线
上,则下列说法错误的是( )
A. 使得为等腰三角形的点
有且仅有4个
B. 使得为直角三角形的点
有且仅有4个
C. 使得的点
有且仅有4个
D. 使得的点
有且仅有4个
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【题目】已知抛物线
的焦点为
,过抛物线
上的动点
(除顶点
外)作
的切线
交
轴于点
.过点
作直线
的垂线
(垂足为
)与直线
交于点
.
(Ⅰ)求焦点的坐标;
(Ⅱ)求证:;
(Ⅲ)求线段的长.
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