【题目】已知为坐标原点,抛物线
上在第一象限内的点
到焦点的距离为
,曲线
在点
处的切线交
轴于点
,直线
经过点
且垂直于
轴.
(Ⅰ)求点的坐标;
(Ⅱ)设不经过点和
的动直线
交曲线
于点
和
,交
于点
,若直线
,
,
的斜率依次成等差数列,试问:
是否过定点?请说明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
恒过定点
.
【解析】试题分析:(1)抛物线上在第一象限内的点
到焦点的距离为
,可求出n,得到抛物线方程,求导得斜率,写出切线方程;(2)设
,联立抛物线方程,消元得
,根据根与系数的关系
,
,写出
,
,
的斜率,根据成等差数列求不
,即可证明直线过定点.
试题解析:
(Ⅰ)由抛物线上的点到焦点的距离为
,得
,所以
,则抛物线方程为
,故曲线
在点
处的切线斜率
,切线方程为
,令
得
,所以点
.
(Ⅱ)由题意知,因为
与
相交,所以
.
设,令
,得
,故
,
设,
,
由消去
得
,则
,
,直线
的斜率为
,同理直线
的斜率为
,直线
的斜率为
.因为直线
,
,
的斜率依次成等差数列,
所以,即
,即
整理得:
,
因为不经过点
,所以
,所以
.故
,即
恒过定点
.
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【题目】已知椭圆
,其焦距为2,离心率为
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆的右焦点为,
为
轴上一点,满足
,过点
作斜率不为0的直线
交椭圆于
两点,求
面积
的最大值.
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【题目】为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,…,第五组,如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为( )
A. 6 B. 8
C. 12 D. 18
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【题目】已知椭圆的一个焦点坐标为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知点,过点
的直线
(与
轴不重合)与椭圆
交于
两点,直线
与直线
相交于点
,试证明:直线
与
轴平行.
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【题目】【2018贵州遵义市高三上学期第二次联考】设抛物线的准线与
轴交于
,抛物线的焦点为
,以
为焦点,离心率
的椭圆与抛物线的一个交点为
;自
引直线交抛物线于
两个不同的点,设
.
(Ⅰ)求抛物线的方程和椭圆的方程;
(Ⅱ)若,求
的取值范围.
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【题目】已知曲线的极坐标方程是
,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为
轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线
的参数方程是
(
为参数).
(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)若直线与曲线
相交于
两点,且
,求直线
的倾斜角
的值.
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【题目】据中国日报网报道:2017年11月13日,TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示,中国超算在前五名中占据两席,其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器。为了了解国产品牌处理器打开文件的速度,某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试,结果如下(数值越小,速度越快,单位是MIPS)
测试1 | 测试2 | 测试3 | 测试4 | 测试5 | 测试6 | 测试7 | 测试8 | 测试9 | 测试10 | 测试11 | 测试12 | |
品牌A | 3 | 6 | 9 | 10 | 4 | 1 | 12 | 17 | 4 | 6 | 6 | 14 |
品牌B | 2 | 8 | 5 | 4 | 2 | 5 | 8 | 15 | 5 | 12 | 10 | 21 |
设分别表示第次测试中品牌A和品牌B的测试结果,记
(Ⅰ)求数据的众数;
(Ⅱ)从满足的测试中随机抽取两次,求品牌A的测试结果恰好有一次大于品牌B的测试结果的概率;
(Ⅲ)经过了解,前6次测试是打开含有文字和表格的文件,后6次测试是打开含有文字和图片的文件.请你依据表中数据,运用所学的统计知识,对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价.
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【题目】数列:
满足:
,
或1(
).对任意
,都存在
,使得
.,其中
且两两不相等.
(I)若.写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号;
①1,1,1,2,2,2;②1,1,1,1,2,2,2,2;③1,l,1,1,1,2,2,2,2
(Ⅱ)记.若
,证明:
;
(Ⅲ)若,求
的最小值.
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