【题目】数列:
满足:
,
或1(
).对任意
,都存在
,使得
.,其中
且两两不相等.
(I)若.写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号;
①1,1,1,2,2,2;②1,1,1,1,2,2,2,2;③1,l,1,1,1,2,2,2,2
(Ⅱ)记.若
,证明:
;
(Ⅲ)若,求
的最小值.
【答案】(Ⅰ) ②③(Ⅱ)见解析(Ⅲ)的最小值为
【解析】试题分析:(Ⅰ)依据定义检验给出的数列是否满足要求条件.(Ⅱ)当时,
都在数列中出现,可以证明
至少出现4次,2至少出现2次,这样
. (Ⅲ)设
出现频数依次为
.同(Ⅱ)的证明,可得:
,
,
,┄,
,
,
,则
,我们再构造数列:
,证明该数列满足题设条件,从而
的最小值为
.
解析:(Ⅰ)对于①,,对于
,
或
,不满足要求;对于②,若
,则
,且
彼此相异,若
,则
,且
彼此相异,若
,则
,且
彼此相异,故②符合题目条件;同理③也符合题目条件,故符合题目条件的数列的序号为②③.
注:只得到 ② 或只得到 ③ 给[ 1分],有错解不给分.
(Ⅱ)当时,设数列
中
出现频数依次为
,由题意
.
① 假设,则有
(对任意
),与已知矛盾,所以
.同理可证:
.
② 假设,则存在唯一的
,使得
.那么,对
,有
(
两两不相等),与已知矛盾,所以
.
综上: ,
,
,所以
.
(Ⅲ)设出现频数依次为
.同(Ⅱ)的证明,可得:
,
,
,┄,
,
,
,则
.
取得到的数列为:
下面证明满足题目要求.对
,不妨令
,
① 如果或
,由于
,所以符合条件;
② 如果或
,由于
,所以也成立;
③ 如果,则可选取
;同样的,如果
,
则可选取,使得
,且
两两不相等;
④ 如果,则可选取
,注意到这种情况每个数最多被选取了一次,因此也成立.综上,对任意
,总存在
,使得
,其中
且两两不相等.因此
满足题目要求,所以
的最小值为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知为坐标原点,抛物线
上在第一象限内的点
到焦点的距离为
,曲线
在点
处的切线交
轴于点
,直线
经过点
且垂直于
轴.
(Ⅰ)求点的坐标;
(Ⅱ)设不经过点和
的动直线
交曲线
于点
和
,交
于点
,若直线
,
,
的斜率依次成等差数列,试问:
是否过定点?请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】(2018届高三·湖南十校联考)已知函数f(x)=x+sin x(x∈R),且f(y2-2y+3)+f(x2-4x+1)≤0,则当y≥1时, 的取值范围是( )
A. B.
C. [1,3-3] D.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知抛物线
的焦点为
,过抛物线
上的动点
(除顶点
外)作
的切线
交
轴于点
.过点
作直线
的垂线
(垂足为
)与直线
交于点
.
(Ⅰ)求焦点的坐标;
(Ⅱ)求证:;
(Ⅲ)求线段的长.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,以坐标原点
为极点,以
轴正半轴为极轴,建立极坐标系.曲线
的极坐标方程为
,曲线
的参数方程为
(
为参数)
(1)求曲线的直角坐标方程及曲线
的极坐标方程;
(2)当(
)时在曲线
上对应的点为
,若
的面积为
,求
点的极坐标,并判断
是否在曲线
上(其中点
为半圆的圆心)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示,射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角,过点P(1,0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点,当AB的中点C恰好落在直线y=x上时,求直线AB的方程.
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